弾性衝撃：1つの次元で、特別な場合、演習 - 物理的 - 2025

弾性衝突弾性衝突は運動量と運動エネルギーの両方が保存されているオブジェクト間の短いが強い相互作用です。クラッシュは自然界で非常に頻繁に発生するイベントです。亜原子粒子から銀河、遊園地のビリヤードボールやバンパーカーなど、すべて衝突する可能性のある物体です。

衝突または衝突中、オブジェクト間の相互作用の力は非常に強く、外部から作用する力よりもはるかに強力です。このようにして、衝突の間、粒子は隔離されたシステムを形成すると言える。

ビリヤードボールの衝突は弾性と見なすことができます。出典：Pixabay。

この場合、それは真実です：

衝突前の運動量P _oは衝突後と同じです。これは、弾性と非弾性の両方のあらゆるタイプの衝突に当てはまります。

ここで、次のことを考慮してください。衝突時に、オブジェクトは特定の変形を受けます。衝撃が弾性の場合、オブジェクトはすぐに元の形状に戻ります。

運動エネルギーの節約

通常、クラッシュ時には、オブジェクトのエネルギーの一部が熱、変形、音、場合によっては光の生成に費やされます。したがって、衝突後のシステムの運動エネルギーは、元の運動エネルギーよりも小さくなります。

運動エネルギーKが保存されると、

つまり、衝突時に作用する力は保守的です。衝突中、運動エネルギーは一時的に位置エネルギーに変換され、次に運動エネルギーに戻ります。それぞれの運動エネルギーは異なりますが、合計は一定のままです。

完全な弾性衝突はまれですが、ビリヤードボールは、理想的な気体分子間で発生する衝突と同様に、かなり良い近似です。

一次元の弾性衝撃

これの2つの粒子の衝突を1次元で調べてみましょう。つまり、相互作用する粒子は、たとえばX軸に沿って移動します。それらに質量m ₁とm ₂があると仮定します。それぞれの初期速度はそれぞれu _1と u ₂です。最終速度はv ₁とv ₂です。

移動はx軸に沿って実行されるため、ベクトル表記は省略できますが、記号（-）および（+）は移動の方向を示します。慣例により、左側はマイナス、右側はプラスです。

-弾性衝突の計算式

移動量について

運動エネルギー

質量と初速度がわかっている限り、方程式を再グループ化して最終速度を見つけることができます。

問題は、運動エネルギーの方程式に速度の2乗が含まれ、計算が少し面倒になるため、原理的には、かなり面倒な代数を実行する必要があることです。理想は、それらを含まない式を見つけることです。

1つ目は、係数withを省略して、負の符号が表示され、質量を因数分解できるように両方の方程式を並べ替えることです。

このように表現されている：

速度の二乗を排除する単純化

ここで、2番目の方程式の差によって注目すべき積和を使用する必要があります。これにより、元々必要な、正方形を含まない式が得られます。

次のステップは、最初の方程式を2番目の方程式に代入することです。

そして、項m ₂（v ₂ -u ₂）は等式の両側で繰り返されるため、この項はキャンセルされ、次のようになります。

またはさらに良い：

最終速度v

これで、より扱いやすい2つの線形方程式が作成されました。それらをもう一方の下に戻します。

2番目の方程式にm ₁を乗算して項を項に追加すると、次のようになります。

また、v ₂をクリアすることはすでに可能です。例えば：

弾性衝突の特殊なケース

両方の粒子の最終速度の方程式が利用できるようになったので、いくつかの特別な状況を分析します。

2つの同一の質量

その場合、m ₁ = m ₂ = my：

パーティクルは、衝突後に速度を交換するだけです。

2つの同一の質量、そのうちの1つは最初は静止していた

ここでもm ₁ = m ₂ = mであり、u ₁ = 0 と仮定します。

衝突後、静止していたパーティクルは移動していたパーティクルと同じ速度を取得し、これが停止します。

2つの異なる質量、そのうち1つは静止状態

この場合、u ₁ = 0であると仮定しますが、質量は異なります。

m ₁がm ₂よりはるかに大きい場合はどうなりますか？

m _1がまだ静止していて、m ₂が影響を与えたのと同じ速度で返されることが起こります。

反発係数またはホイヘンス・ニュートンの法則

以前は、弾性衝突の2つのオブジェクトについて、速度間の次の関係が導き出されました：u ₁ -u ₂ = v ₂ -v ₁。これらの違いは、衝突前後の相対速度です。一般に、衝突の場合、次のことが当てはまります。

相対速度の概念は、読者が粒子の1つにいると想像し、この位置から他の粒子が移動している速度を観察する場合に最も効果的です。上記の方程式は次のように書き直されます。

解決された演習

-解決された演習1

ビリヤードボールが30 cm /秒で左に移動し、20 cm /秒で右に移動する別の同じボールと正面から衝突します。2つのボールの質量は同じで、衝突は完全に弾性です。インパクト後の各ボールの速度を見つけます。

解決

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

これは、2つの同一の質量が1次元で弾性的に衝突する特殊なケースであるため、速度が交換されます。

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-解決された演習2

地面から跳ね返るボールの反発係数は0.82です。静止状態から落ちた場合、ボールが1回バウンドした後、ボールは元の高さの何分の1に到達しますか？そして3リバウンド後？

ボールは固い表面で跳ね返り、跳ねるたびに高さが失われます。出典：自作。

解決

土壌は反発係数の方程式のオブジェクト1になります。そしてそれは常に静止したままなので、

この速度で跳ね返ります：

+記号は、上昇速度であることを示します。そしてそれによると、ボールは次の最大高さに達します：

これで、等速で逆の符号で地面に戻ります。

これにより、次の最大の高さが達成されます。

地面に戻る：

連続バウンス

ボールがバウンドして上昇するたびに、速度に再度0.82を掛けます。

この時点で、h ₃はh _oの約30％です。以前のような詳細な計算を行う必要がない6回目のバウンスまでの高さはどれくらいでしょうか。

h ₆ = 0.82 ¹² h _o = 0.092h _o oはh _oの 9％にすぎません。

-解決された演習3

300 gのブロックは50 cm /秒で北に移動し、100 cm /秒で南に向かう200 gのブロックと衝突します。衝撃が完全に弾性であると仮定します。衝撃後の速度を見つけます。

データ

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-解決された演習4

m ₁ = 4 kgの質量は、静止状態でm ₂ = 10 kg と衝突するまで、摩擦のないトラックの指定されたポイントから解放されます。衝突後、m ₁はどのくらい高くなりますか？

解決

何ら摩擦がないため、機械的エネルギーは、速度U見つけるために保存されている₁メートルれる_1本のヒットをmは_2を最初に運動エネルギーがMので、0である₁休止から始まります。水平面上を移動すると高さがなくなるため、ポテンシャルエネルギーは0になります。

衝突が計算された後のm ₁の速度：

負の符号は、それが返されたことを意味します。この速度で上昇し、機械的エネルギーが再び節約されて、衝突後に上昇に成功した高さh 'を見つけます。

高さ8 mの開始点には戻りません。質量m ₁が運動エネルギーの一部を放棄したため、十分なエネルギーがありません_。

参考文献

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