ポアソン比：係数、式、値、例 - 物理的 - 2025

ポアソンの比は、すべての材料の特性無次元量です。これは、特定の力を加える前の材料の変形を示しています。

引張りまたは圧縮を受ける材料が変形するとき、横変形と縦変形の間の商は正確にポアソン比です。

図1.ポアソン比は、縦方向のストレッチと横方向の狭まりの間の関係を測定します。（リカルドペレス作成）

例えば、両端に張力がかかっているゴム製のシリンダーは、縦方向には伸びますが横方向には細くなります。図1は、元の寸法が長さLと直径Dのバーを示しています。

棒はその端部で張力Tを受け、この張力の結果として、棒は引き伸ばされ、新しい長さはL '> Lになります。しかし、棒が引き伸ばされると、直径も新しい値に狭まります。D '<D。

ストレッチ（正）とナローイング（負）の間に（-1）を掛けた商は、0〜0.5の正の数です。この数値は、いわゆるポアソン比ν（ギリシャ文字のnu）です。

ポアソン比の式

ポアソン比を計算するには、縦ひずみと横ひずみを決定する必要があります。

長手方向の歪みε _Lは、元の長さで割ったストレッチです。

ε _L =（L「 - L）/ L

同様に、ε横歪み_Tは元の直径で割ったラジアル狭窄です。

ε _T =（D「 - D）/ D

したがって、ポアソン比は次の式で計算されます。

ν= - ε _T /ε _L

弾性率と剛性率の関係

ポアソン比νは、次の式によって、弾性率E（またはヤング率）および剛性率Gに関連しています。

材料のポアソン比値

図2.ステンレス鋼のポアソン比は0.30と0.31の間です。出典：Pixabay。

計算例

例1

特定のプラスチック材料の棒は、長さが150 mmで、直径が20 mmの円形断面です。612.25 kg-fの圧縮力Fを受けると、14 mmの短縮が観察され、同時にバーの直径が0.85 mm増加します。

計算：

a）縦ひずみ。

b）横ひずみ。

c）その材料のポアソン比。

d）材料に対応するヤング弾性率。

e）そのプラスチックの剛性率。

への解決策

縦ひずみεLはストレッチを元の長さで割ったものであることを思い出してください。

εL=（L '-L）/ L

εL=（-14 mm）/ 150 mm = -0.0933

縦方向のひずみは無次元であることに注意してください。この場合、縦方向の寸法が減少したため、負でした。

ソリューションb

同様に、横ひずみεTは、元の直径で割った半径方向のテーパーです。

εT=（D '-D）/ D

εT=（+0.85 mm）/ 20 mm = 0.0425

バーの直径が増加したため、横ひずみは正の値です。

ソリューションc

ポアソン比の計算では、横変形と縦変形の間の商の負として定義されることを覚えておく必要があります。

ν=-εT/εL

ν=-0.0425 /（-0.0933）= 0.4554

ポアソン比は正の無次元数であり、ほとんどの材料では0から0.5の間であることを覚えておいてください。

ソリューションd

文字Eで示されるヤングの弾性係数は、フックの法則における比例定数です。Eにより、次のように、垂直応力σLはひずみεLに関連付けられます。

σL= EεL

垂直応力は、垂直力（この場合は棒の軸に平行）と断面積の間の商として定義されます。

σL= F / A = F /（π/ 4 * D ^ 2）

この演習では、力Fは612.25 kg-fであり、これは力のSI単位であるニュートンに変換する必要があります。

F = 612.25 kg-f = 612.25 * 9.8 N = 6000 N = 6 kN

その部分について、領域Aの断面は次のとおりです。

A =（π/ 4 * D ^ 2）=（3.1416 / 4）*（20 * 10 ^ -3 m）^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

最後に、バーに加えられる垂直応力は次のとおりです。

σL= F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

ヤング弾性係数を計算するには、フックの法則σL= EεLからEを解きます。

E =σL/εL= 19,098,593 Pa / 0.0933 = 204.7 MPa

ソリューションe

剛性率Gは、次の式によって、ヤング率Eおよびポアソン比νに関連しています。

E /（2 G）= 1 +ν

そこからGを解くことができます：

G = E /（2（1 +ν））= 204.7 MPa /（2（1 + 0.4554））= 70.33 MPa

例2

直径4 mm、長さ1 mの銅ケーブルがあります。銅のヤング率が110,000 MPaであり、そのポアソン比が0.34であることを知って、100 kg-fの重さを掛けたときにワイヤーが受ける直径の伸縮を推定します。

解決

まず、次の式に従って、ウェイトがワイヤーに及ぼす垂直引張応力を計算する必要があります。

σL= F / A = F /（π/ 4 * D ^ 2）

力Fは980 Nで、断面積は次のとおりです。

A =（π/ 4 * D ^ 2）=（3.1416 / 4）*（4 * 10 ^ -3 m）^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

次に、引張応力は次のとおりです。

σL= 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Pa

ワイヤーのひずみの計算

文字Eで表されるヤングの弾性係数は、垂直応力σLをひずみεLに関連付けるフックの法則の比例定数です。

σL= EεL

そこから、銅線の縦ひずみを解決できます。

εL=σL/ E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

横ひずみの計算

一方、横ひずみを知るために、ポアソン比が適用されます。

ν=-εT/εL

最後に、横ひずみは次のとおりです。

εT= –νεL=-0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

絶対ケーブルストレッチの計算

最後に、ケーブルの絶対的な伸びを知るには、次の関係を適用する必要があります。

ΔL=εL* L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm

つまり、その重量ではケーブルはわずか0.709ミリメートル伸びました。

直径の減少の計算

直径の絶対収縮を取得するには、次の式を使用します。

ΔD=εT* D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9.64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964ミリメートル。

この細径化は非常に細く、肉眼では見づらいほどであり、測定には高精度の機器が必要です。

参考文献

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