- 計算例
- 中心を通る軸に対する細い棒の慣性モーメント
- 中心を通る軸に関するディスクの慣性モーメント
- 直径の周りの固体球の慣性モーメント
- 軸芯に対する中実円柱の慣性モーメント
- 長方形のシートの、その中心を通る軸に対する慣性モーメント
- 正方形のシートの中心を通る軸に対する慣性モーメント
- 慣性モーメントの定理
- シュタイナーの定理
- 垂直軸定理
- 運動が解決されました
- 参考文献
慣性モーメントの回転の特定の軸に対する剛体の周り軸を前記の角速度を変化に対する抵抗を表します。ボディはジオメトリに応じて、特定の軸を中心に他の軸よりも簡単に回転できるため、質量と回転軸の位置に比例します。
軸を中心に回転できる大きなオブジェクト（多数の粒子で構成される）を想定します。力と仮定Fが作用する量Δm、質量要素上に接線方向に印加Iによって与えられるトルク又はモーメントを生成し、τ ネット =Σはrのiは xはF のI。ベクターは、rは iは量Δmの位置であり、I（図2参照します）。
図1.さまざまな図の慣性モーメント。出典：ウィキメディア・コモンズ。
このモーメントは、回転平面に対して垂直です（方向+ k =紙を離れる）。力と半径方向の位置ベクトルは常に垂直であるため、外積は残ります。
τ ネット F =Σ iが rのiが k個 =Σは（量Δm I A I）[式中、R iはk個 =Σ量Δm I（iは rのIの）K
図2.回転中の剛体に属する粒子。出典：Serway、R。2018。理工学の物理学。ボリューム1。CengageLearning。
半径方向の加速度はトルクに寄与しないため、加速度a iは加速度の接線成分を表します。角加速度αの関数として、次のことを示すことができます。
したがって、正味トルクは次のようになります。
τ ネット =Σ量Δm I（αR I 2）K =（Σ R I 2値Δm I）α K
角加速度αはオブジェクト全体で同じであるため、下付き文字「i」の影響を受けず、合計を残すことができます。これは、文字Iで表されるオブジェクトの慣性モーメントです。
これは、離散質量分布の慣性モーメントです。分布が連続的である場合、合計は積分に置き換えられ、Δmは質量微分dmになります。積分はオブジェクト全体で実行されます：
SI International Systemの慣性モーメントの単位はkg xm 2です。質量と距離の2乗の積であるため、スカラーで正の量です。
計算例
密度ρが一定で、密度が質量-体積比であることを知っている棒、円盤、球体などの拡張オブジェクトは、質量微分dmは次のように記述されます。
慣性モーメントの代わりに積分を使用すると、次のようになります。
これは3次元オブジェクトに有効な一般式であり、その体積Vと位置rは、空間座標x、y、zの関数です。一定であるため、密度は積分の外側にあることに注意してください。
密度ρはかさ密度とも呼ばれますが、オブジェクトがシートのように非常に平らであるか、棒のように非常に薄くて狭い場合は、他の形式の密度を使用できます。
-非常に薄いシートの場合、使用する密度はσ、表面密度（単位面積あたりの質量）、dAは面積の差です。
-そして、それが長さのみが関係する細い棒である場合、参照として使用される軸に従って、線形質量密度λと長さの差が使用されます。
次の例では、すべてのオブジェクトが剛体（変形可能ではない）と見なされ、密度は均一です。
中心を通る軸に対する細い棒の慣性モーメント
ここでは、媒体を通過する軸に対して、長さLで質量Mの、薄くて剛性のある均質なバーの慣性モーメントを計算します。
まず、次のように、座標系を確立し、適切なジオメトリを使用して図を作成する必要があります。
図3.細い棒の中心を通る垂直軸に対する細い棒の慣性モーメントを計算するための形状。出典：F. Zapata。
バーに沿ったx軸とy軸が回転軸として選択されました。積分を確立する手順では、バーと呼ばれるdmと呼ばれる質量差を選択する必要があります。これは、長さdxが異なり、中心x = 0に対して任意の位置xにあります。
線形質量密度λの定義によれば、
密度は均一であり、MとLに有効であるため、dmとdxにも有効です。
一方、質量要素は位置xにあるため、定義にこのジオメトリを代入すると、定積分が得られます。その積分の限界は、座標系によるバーの端です。
線形密度λ= M / Lを代入すると、
バーの別の回転軸（バーの端の1つを通過する軸など）に対するバーの慣性モーメントを見つけるには、シュタイナーの定理（最後に解くエクササイズを参照）を使用するか、図のような直接計算を実行します。ここでは、ジオメトリを適切に変更します。
中心を通る軸に関するディスクの慣性モーメント
無視できる厚さの非常に薄いディスクは、平らな図です。質量が領域Aの表面全体に均一に分布している場合、質量密度σは次のようになります。
dmとdAはどちらも、図に示されている差動リングの質量と面積に対応しています。アセンブリ全体がy軸を中心に回転すると仮定します。
ディスクは、それぞれが慣性モーメントを持つ、半径rの多くの同心リングで構成されていると想像できます。半径Rに達するまですべてのリングの寄与を追加すると、ディスクの総慣性モーメントが得られます。
図4.軸軸に対するディスクの慣性モーメントを計算するためのジオメトリ。出典：F. Zapata。
ここで、Mはディスクの全体の質量を表します。ディスクの面積は、半径rによって次のように異なります。
rに関する導出：
上記をIの定義に置き換えます。
代入σ= M /（π.R 2）我々が得ます：
直径の周りの固体球の慣性モーメント
半径Rの球は、互いに重なった一連のディスクと見なすことができます。ここで、微小質量dm、半径r、厚さdzの各ディスクは、次式で与えられる慣性モーメントを持っています。
この微分を見つけるために、前のセクションの式を単純に取り、dmとrにそれぞれMとRを代入しました。このようなディスクは、図5の形状で確認できます。
図5.直径を通る軸を基準とした、半径Rの中実球の慣性モーメントを計算するジオメトリ。出典：F. Zapata。
積み重ねられたディスクのすべての微小な慣性モーメントを追加すると、球の総慣性モーメントが得られます。
これは次と同等です：
積分を解くには、dmを適切に表現する必要があります。いつものように、それは密度から達成されます：
差分ディスクのボリュームは次のとおりです。
基部の面積はπRであるディスクの高さは、厚さDZで2従って、：
そして、提案された積分を代入すると、次のようになります。
しかし、統合する前に、図5からわかるように、r（ディスクの半径）がzとR（球の半径）に依存することを確認する必要があります。ピタゴラスの定理を使用すると、
それは私たちにつながる：
球全体を統合するために、zは–RとRの間で変化することに注意してください。
簡略化した後、ρ= M / V = M /が最終的に得られることがわかります：
軸芯に対する中実円柱の慣性モーメント
このオブジェクトでは、球に使用されているのと同様の方法が使用されますが、今回は、円柱が玉ねぎの層であるかのように、半径r、厚さdr、高さHの円柱シェルで構成されていると想定した方が簡単です。 。
図6.軸Rの半径Rの中実円柱の慣性モーメントを計算するためのジオメトリ。出典：Serway、R。2018。理工学の物理学。ボリューム1。Cengage。
円筒層の体積dVは次のとおりです。
したがって、シェルの質量は次のとおりです。
この式は、慣性モーメントの定義で置き換えられます。
上記の式は、シリンダーの慣性モーメントが長さに依存せず、質量と半径のみに依存することを示しています。Lが変化したとしても、軸軸周りの慣性モーメントは同じままです。このため、円柱のIは以前に計算された薄い円盤のIと一致します。
長方形のシートの、その中心を通る軸に対する慣性モーメント
水平方向のy軸が回転軸として選択されています。次の図は、統合を実行するために必要なジオメトリを示しています。
図7.シートに平行でその中心を通る軸に対する長方形プレートの慣性モーメントを計算するためのジオメトリ。出典：F. Zapata。
赤でマークされたエリア要素は長方形です。その面積はベースx高さなので、次のようになります。
したがって、質量差は次のとおりです。
エリア要素から回転軸までの距離は常にzです。慣性モーメントの積分でこれをすべて置き換えます。
ここで、表面質量密度σは次のように置き換えられます。
そしてそれは間違いなくこのように見えます：
細い棒のようなものです。
正方形のシートの中心を通る軸に対する慣性モーメント
辺がLの正方形の場合、長方形に有効な前の式では、Lの値を単にbの値に置き換えます。
慣性モーメントの定理
他の軸に関する慣性モーメントの計算を簡略化するために特に有用な2つの定理があります。そうでなければ、対称性がないために見つけるのが難しい場合があります。これらの定理は次のとおりです。
シュタイナーの定理
平行軸定理とも呼ばれ、軸が平行である限り、軸に関する慣性モーメントを、オブジェクトの重心を通過する別の軸と関連付けます。これを適用するには、両方の軸間の距離D、そしてもちろん物体の質量Mを知る必要があります。
I zを z軸に対して伸ばしたオブジェクトの慣性モーメント、I CMを前記オブジェクトの重心（CM）を通過する軸に対する慣性モーメントとすると、次のことが満たされます。
または、次の図の表記法：I z ' = I z + Md 2
図8.シュタイナーの定理または平行軸。出典：ウィキメディア・コモンズ。ジャック・シー
垂直軸定理
この定理は平面に適用され、次のようになります。それに垂直な軸の周りの平面オブジェクトの慣性モーメントは、最初の軸に垂直な2つの軸の周りの慣性モーメントの合計です。
図9.垂直軸の定理。出典：F. Zapata。
オブジェクトの対称性がI xとI yが等しい場合、次のことが当てはまります。
運動が解決されました
図1（下と右）と図10に示すように、バーの端の1つを通過する軸に対するバーの慣性モーメントを求めます。
図10.一端を通る軸の周りの均質バーの慣性モーメント。出典：F. Zapata。
解決：
幾何学的中心を通る軸の周りのバーの慣性モーメントがすでにあります。バーは均質であるため、その重心はその時点にあり、これがシュタイナーの定理を適用するI CMになります。
バーの長さがLの場合、z軸はD = L / 2の距離にあります。
参考文献
- バウアー、W。2011。工学および科学のための物理学。ボリューム1. Mc Graw Hill。313-340
- レックス、A。2011。基礎物理学。ピアソン。190-200。
- 平行軸定理。回収元：hyperphysics.phy-astr.gsu.edu。
- サーウェイ、R。2018。理工学のための物理学。ボリューム1。Cengage。
- セビリア大学。球形固体の慣性モーメント。から回復：laplace.us.es。
- セビリア大学。粒子系の慣性モーメント。から回復：laplace.us.es。
- ウィキペディア。平行軸定理。から回復：en.wikipedia.org