コプレーナベクターまたは同一平面は、同一平面上に含まれているものです。2つのベクトルしかない場合、これらは常に同一平面上にあります。無限の平面があるため、それらを含むベクトルを選択することは常に可能です。
3つ以上のベクトルがある場合、それらの一部が他と同じ平面にない可能性があります。そのため、それらは同一平面と見なすことができません。次の図は、太字のA、B、C、およびDで示されているコプレーナベクトルのセットを示しています。
図1. 4つのコプレーナベクトル。出典：自作。
ベクトルは、科学と工学に関連する物理量の動作と特性に関連しています。たとえば、速度、加速度、力などです。
たとえば、強度、方向、方向を変更することによって、力が適用される方法が変化すると、力はオブジェクトにさまざまな効果をもたらします。これらのパラメーターの1つだけを変更しても、結果はかなり異なります。
静的と動的の両方の多くのアプリケーションで、物体に作用する力は同じ平面上にあるため、同一平面と見なされます。
ベクトルが同一平面上にあるための条件
3つのベクトルが同一平面上にあるためには、それらが同じ平面上になければなりません。これは、次のいずれかの条件を満たす場合に発生します。
-ベクトルは平行であるため、それらの成分は比例し、線形に依存します。
-混合商品がnullです。
-3つのベクトルがあり、それらのいずれかが他の2つの線形結合として記述できる場合、これらのベクトルは同一平面上にあります。たとえば、他の2つの合計から生じるベクトルで、3つはすべて同じ平面にあります。
または、コプラナリティ条件を次のように設定できます。
3つのベクトル間の混合積
ベクトル間の混合積は3つのベクトルu、v、およびwで定義され、次の操作を実行した結果としてスカラーが生成されます。
u・（v x w ）= u ・（v x w ）
最初に、括弧内の外積が実行されます：v x w 、その結果はvとwの両方が存在する平面への法線ベクトル（垂直）です。
uがvおよびwと同じ平面上にある場合、当然、uと前記法線ベクトルの間のスカラー積（ドット積）は0でなければなりません。このようにして、3つのベクトルが同一平面上にある（同じ平面上にある）ことが確認されます。
混合積がゼロでない場合、その結果は、隣接する辺としてベクトルu 、v、およびwを持つ平行六面体の体積に等しくなります。
用途
同一平面上、同時および非同一線力
同時の力はすべて同じ点に適用されます。それらが同一平面上にある場合、それらを単一の力で置き換えることができます。これは合力と呼ばれ、元の力と同じ効果があります。
A 、B、Cと呼ばれる、3つの同一平面上の力（並行で非共線性（平行ではない））によって物体が平衡状態にある場合、ラミーの定理は、これらの力（大きさ）の関係が次のとおりであることを示しています。
A / sinα= B / sinβ= C / sinγ
次の図に示すように、α、β、およびγを、加えられた力の反対の角度として使用します。
図2. 3つの同一平面上の力A、B、Cがオブジェクトに作用します。ソース：英語版ウィキペディアのKiwakwok
解決された演習
-演習1
次のベクトルが同一平面になるようにkの値を見つけます。
u = <-3、k、2>
v = <4、1、0>
w = <-1、2、-1>
解決
ベクトルのコンポーネントがあるため、混合積の基準が使用されます。
u （v x w ）= 0
最初にv x wを解きます。ベクトルは、空間内の3つの垂直方向（幅、高さ、奥行き）を区別する単位ベクトルi、j、kで表されます。
v = 4 i + j + 0 k
w = -1 i + 2 j -1 k
v x w = -4 （ixi） + 8 （ixj） -4 （ixk） - （jxi） + 2 （jxj） -2 （jxk）= 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k
次に、uと、前の演算から得られたベクトルとの間のスカラー積を検討し、演算を0に設定します。
u（v x w）=（-3 i + k j + 2 k）・（-2 i + 4 j + 9 k）= 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
求められる値は、k =-6
したがって、ベクトルuは次のとおりです。
u = <-3、-6、2>
-演習2
図は、重量がW = 600 Nで、図3に示す角度でケーブルが配置されているために平衡状態にあるオブジェクトを示しています。この状況でラミーの定理を適用することはできますか？いずれの場合でも、平衡を可能にするT 1、T 2、およびT 3の大きさを見つけます。
図3.重量は、示されている3つの応力の作用下で平衡状態になっています。出典：自作。
解決
ラミーの定理は、3つの応力が加えられるノードが考慮される場合、これらは共面力のシステムを構成するため、この状況に適用できます。最初に、T 3の大きさを決定するために、吊り下げ重量の自由体図が作成されます。
図4.吊り下げ重量の自由体図。出典：自作。
平衡状態から、次のようになります。
次の図では、力の間の角度が赤でマークされています。力の合計が360度であることを簡単に確認できます。力の1つとそれらの間の3つの角度がわかっているため、ラミーの定理を適用することができます。
図5.-赤で、ラミーの定理を適用する角度。出典：自作。
T 1 / sin127º= W / sin106º
したがって、T 1 = sin127º（W / sin106º）= 498.5 N
ここでもラミーの定理がT 2の解に適用されます。
T 2 / sin 127 = T 1 / sin127º
T 2 = T 1 = 498.5 N
参考文献
- Figueroa、D.シリーズ：科学と工学のための物理学。ボリューム1.キネマティクス。31-68。
- 物理的。モジュール8：ベクトル。回収元：frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler、R。2006。エンジニアのための力学。静的 第6版。Continental Publishing Company。28-66。
- マクリーン、Wショームシリーズ。エンジニアのための力学：静的および動的。第3版。マグローヒル。1-15。
- ウィキペディア。ベクター。回復元：es.wikipedia.org。