物理学の軌跡：特性、タイプ、例、演習 - 物理的 - 2025

物理学の軌跡は、移動中に連続するポイントを通過するときに、モバイルが描く曲線です。それは多くの変形を取ることができるので、携帯電話がたどることができる軌道もそうです。

ある場所から別の場所に移動するには、人はさまざまな道やさまざまな道をたどることができます。通りや通りの歩道を歩いたり、車やバイクで高速道路に到着したりします。森の中を歩くとき、ハイカーは、曲がりくねったり、レベルが上がったり下がったり、同じ場所を何度か通過したりするなど、複雑な道をたどることができます。

図1.各位置ベクトルの端点を結合して、粒子がたどる経路を取得します。出典：アルガラビア

モバイルが通過するポイントが直線に従う場合、軌道は直線になります。これは1次元であるため、最も単純なパスです。位置の指定には単一の座標が必要です。

しかし、携帯電話は曲線の経路をたどることができ、閉じたり開いたりすることができます。このような場合、位置を追跡するには2つまたは3つの座標が必要です。これらは、それぞれ平面内と空間内の動きです。これはリンクと関係があります：運動の物質的条件を制限します。次に例を示します。

-太陽の周りの惑星を表す軌道は、楕円形の閉じたパスです。場合によっては、地球の場合のように円形に近似することもできます。

-ゴールキーパーがゴールキックで蹴るボールは、放物線の軌道をたどります。

-飛行中の鳥は、平面上を移動するだけでなく、自由にレベルを上下できるため、空間内の曲線の軌跡を表します。

物理学における軌道は、モバイルの位置がいつでもわかっている場合、数学的に表現できます。ましょうRがである今度は三次元運動の最も一般的な場合には、X、Y及びZ座標を有する位置ベクトル、。関数r（t）が分かれば、軌道は完全に決定されます。

タイプ

一般的に言えば、特に数学的に表現したい場合、軌道はかなり複雑な曲線になる可能性があります。このため、これは最も単純なモデルから始まります。このモデルでは、移動体は直線または平面上を移動します。これは、床やその他の適切なものにすることができます。

一次元、二次元、三次元の動き

最も研究されている軌道は次のとおりです。

- 直進、ストレート水平、垂直または傾斜路を走行します。垂直に上向きに投げられたボールがこのパスをたどるか、または傾斜面を滑り落ちるオブジェクトがたどります。それらは1次元の動きであり、単一の座標で位置を完全に決定するのに十分です。

- 放物線、モバイルでは放物線弧を表します。重力の作用下で斜めに投射されたオブジェクト（発射体）はすべてこの軌道をたどるので、頻繁に発生します。モバイルの位置を指定するには、xとyの2つの座標を指定する必要があります。

- 円形、移動するパーティクルが円を描くときに発生します。また、自然界や日常生活でもよく見られます。日常の多くの物体は、いくつかの例を示すために、タイヤ、機械部品、軌道衛星などの円形の経路をたどります。

- 楕円、楕円次のオブジェクトに移動します。最初に述べたように、それは太陽の周りを周回する惑星がたどる経路です。

- 中心の力（重力）の作用下にある双曲線の天体は、楕円形（閉じた）または双曲線（開いた）の軌跡をたどることができ、これらは前者よりも頻度が低くなります。

- ヘリカル、又は熱電流の鳥の上昇のような螺旋運動、。

- 揺れや振り子、携帯電話は前後の動きで弧を描きます。

例

前のセクションで説明した軌跡は、オブジェクトがどのように移動しているかをすばやく理解するのに非常に役立ちます。いずれにしても、移動体の軌跡は観察者の位置に依存することを明確にする必要があります。これは、同じイベントが、それぞれの人がいる場所に応じて、異なる方法で見られる可能性があることを意味します。

たとえば、女の子が一定の速度でペダルをこぎ、ボールを上に投げます。彼女はボールが直線の経路を描いていることを観察します。

ただし、道路に立っている観察者が通過するのを見ると、ボールは放物線状の動きをします。彼にとって、ボールは最初は傾斜した速度で投げられました。これは女の子の手による上向きの速度と自転車の速度の結果です。

図2.このアニメーションは、自転車に乗っている女の子が作ったボールの垂直方向のスローを示しています。（F. Zapataにより作成）。

明示的、暗黙的、およびパラメトリックな方法でのモバイルのパス

- 明示的、式y（x）で与えられる曲線または軌跡を直接指定

- 暗黙的な曲線をf（X、Y、Z）= 0のように表現されています、

- パラメトリック、このようにして、座標x、y、zは、通常、時間tとして選択されるパラメーターの関数として与えられます。この場合、軌跡は関数x（t）、y（t）、z（t）で構成されます。

次に、運動学で広く研究されてきた2つの軌道、つまり放物線軌道と円軌道を詳しく説明します。

ボイドへの傾斜打ち上げ

図に示すように、オブジェクト（発射物）は、水平線に対してaの角度で、初期速度v _oでスローされます。空気抵抗は考慮されていません。動きは2つの独立した同時の動きとして扱うことができます。1つは一定速度の水平、もう1つは重力の作用による垂直です。

これらの方程式は、発射物の発射のパラメトリック方程式です。上で説明したように、それらは時間である共通のパラメーターtを持っています。

図の直角三角形には次のものが表示されます。

図3.放物線軌道とそれに続く発射体。速度ベクトルの成分が示されています。Hは最大の高さ、Rは最大の水平リーチです。ソース：Ayush12gupta

起動角度を含むこれらの方程式をパラメトリック方程式に代入すると、次のようになります。

放物線経路の方程式

パスの明示的な方程式は、x（t）の方程式からtを解き、y（t）の方程式に代入することで求められます。代数的作業を容易にするために、原点（0,0）は開始点にあり、したがってx _o = y _o = 0であると想定できます。

これは、明示的な形式のパスの方程式です。

循環経路

循環経路は次のように与えられます：

図4.粒子は平面上の円形の経路を移動します。出典：Wikimedia CommonsのF. Zapataにより修正。

ここで、x _または yy _oは携帯電話によって記述される円周の中心を表し、Rはその半径です。P（x、y）はパス上の点です。影付きの直角三角形（図3）から、次のことがわかります。

この場合のパラメーターは、角変位と呼ばれる掃引角度θです。角速度ω（単位時間あたりの掃引角度）が一定である特定の場合、次のように述べることができます。

ここで、θ _oは 0とした場合に減少粒子の初期角度位置です。

このような場合、時間は次のようにパラメトリック方程式に戻ります。

単位ベクトルiとjは、オブジェクトr（t）の位置関数を記述するのに非常に便利です。X軸とY軸の方向をそれぞれ示します。用語では、均一な円運動を表す粒子の位置は次のとおりです。

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j

解決された演習

解決済みの演習1

大砲は、200 m / sの速度と水平に対して40度の角度で弾丸を発射できます。スローが平らな地面にあり、空気抵抗が無視されている場合は、以下を見つけます。

a）パスの方程式y（x）..

b）パラメトリック方程式x（t）およびy（t）。

c）水平範囲と、発射体が空中に留まる時間。

d）x = 12,000 mのときの発射体の高さ

への解決策）

a）軌跡を見つけるために、前のセクションの方程式y（x）で与えられた値が代入されます：

ソリューションb）

b）開始点は座標系の原点（0,0）で選択されます。

ソリューションc）

c）発射体が空中で持続する時間を見つけるには、y（t）= 0とします。ここで、発射は平らな地面で行われます。

最大水平リーチは、この値をx（t）に代入することで求められます。

x _maxを直接見つける別の方法は、パスの方程式でy = 0を設定することです。

小数の四捨五入により、わずかな違いがあります。

ソリューションd）

d）x = 12000 mのときに高さを見つけるには、この値をパスの方程式に直接代入します。

練習問題2

オブジェクトの位置関数は次のように与えられます：

r（t）= 3t i +（4 -5t ²）j m

検索：

a）パスの方程式。それはどんな曲線ですか？

b）初期位置とt = 2秒のときの位置。

c）t = 2秒後に行われた変位。

解決

a）位置関数は、それぞれx軸とy軸の方向を決定する単位ベクトルiとjで与えられています。

パスy（x）の方程式は、x（t）からtを解き、y（t）に代入することで得られます。

b）初期位置は次のとおりです。r（2）= 4 j m; t = 2 sでの位置はr（2）= 6 i -16 j m

c）変位D rは、2つの位置ベクトルの減算です。

練習問題3

地球の半径はR = 6300 kmで、地球の軸を中心とした移動の回転周期は1日であることがわかっています。検索：

a）地表面上の点の軌跡とその位置関数の方程式。

b）そのポイントの速度と加速度。

への解決策）

a）円軌道内の任意の点の位置関数は次のとおりです。

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j

地球の半径Rはありますが、角速度ωはありませんが、周期から計算できます。円運動の場合は、

移動の期間は次のとおりです：1日= 24時間= 1440分= 86 400秒、したがって：

位置関数での置換：

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j = 6300（cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j）Km

パラメトリック形式のパスは次のとおりです。

ソリューションb）

b）円運動の場合、点の線速度vの大きさは角速度wに次のように関連付けられます。

145.8 m / sの一定速度のモーションであっても、回転軌道の中心を維持するために、円軌道の中心に向かう加速度があります。これは、次の式で与えられる_cでの求心加速度です。

参考文献

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