ディレクターベクトル：線の方程式、解決された演習 - 物理的 - 2025

ダイレクタベクトルは、平面内または空間内の線の方向を定義するものと理解されています。したがって、線に平行なベクトルは、その方向ベクトルと見なすことができます。

これは、2つの点が線を定義すると言うユークリッド幾何学の公理のおかげで可能です。次に、これらの2つの点によって形成される方向付けられたセグメントは、上記の線のディレクタベクトルも定義します。

図1.ラインのディレクターベクトル。（独自の詳細）

線（L）に属する点Pとその線のディレクタベクトルuが与えられると、線は完全に決定されます。

線とディレクターのベクトルの方程式

図2.ラインとダイレクタのベクトルの方程式。（独自の詳細）

座標P：（Xo、I）の点Pと線（L）のベクトルuディレクターが与えられた場合、座標Q：（X、Y）のすべての点Qは、ベクトルPQがuに平行であることを満たさなければなりません。この最後の条件は、PQがuに比例する場合に保証されます。

PQ =t⋅ U

上記の式で、tは実数に属するパラメーターです。

PQとuのデカルト成分が記述されている場合、前の方程式は次のように記述されます。

（X-Xo、Y-Yo）=t⋅（a、b）

ベクトル等式の成分が等化されると、次の方程式のペアが得られます。

X-Xo =a⋅tyY-I =b⋅t

ラインのパラメトリック方程式

座標点（Xo、Yo）を通り、ディレクターベクトルu =（a、b）に平行な直線（L）に属する点のX座標とY座標は、変数パラメーターtに実際の値を割り当てることによって決定されます。

{X = Xo +a⋅t; Y = I +b⋅t}

例1

直線のパラメトリック方程式の意味を説明するために、方向ベクトルとして

u =（a、b）=（2、-1）

そしてラインの既知のポイントとしてポイント

P =（Xo、I）=（1、5）。

直線のパラメトリック方程式は次のとおりです。

{X = 1 +2⋅t; Y = 5-1⋅t; -∞

この方程式の意味を説明するために、図3を示します。ここで、パラメーターtはその値を変更し、座標（X、Y）の点Qは線上の異なる位置をとります。

図3. PQ = t u。（独自の詳細）

ベクトル形式の線

線上の点Pとそのディレクタベクトルuが与えられると、線の方程式はベクトル形式で記述できます。

OQ = OP +λ⋅ U

上記の式で、Qは任意の点ですが線に属しており、λは実数です。

線のベクトル方程式は、任意の数の次元に適用でき、ハイパー線も定義できます。

ダイレクタベクトルu =（a、b、c）と点P =（Xo、Yo、Zo）の3次元の場合、線に属する一般的な点Q =（X、Y、Z）の座標は、 ：

（X、Y、Z）=（Xo、Yo、Zo）+λ⋅（a、b、c）

例2

再び方向ベクトルとして持つラインを考えます

u =（a、b）=（2、-1）

そしてラインの既知のポイントとしてポイント

P =（Xo、I）=（1、5）。

上記の線のベクトル方程式は次のとおりです。

（X、Y）=（1、5）+λ⋅（2、-1）

ラインの連続形式とディレクターベクトル

パラメトリック形式から開始して、パラメーターλをクリアおよび同等化すると、次のようになります。

（X-Xo）/ a =（Y-Yo）/ b =（Z-Zo）/ c

これは線の方程式の対称形です。a、b、およびcは、directorベクトルのコンポーネントであることに注意してください。

例3

を方向ベクトルとして持つ線を考えます

u =（a、b）=（2、-1）

そしてラインの既知のポイントとしてポイント

P =（Xo、I）=（1、5）。その対称形を見つけます。

線の対称形または連続形は次のとおりです。

（X-1）/ 2 =（Y-5）/（-1）

線の方程式の一般形

XY平面の線の一般的な形式は、次の構造を持つ方程式として知られています。

A⋅X+B⋅Y= C

対称形の式は、一般形を持つように書き直すことができます。

b⋅X-a⋅Y=b⋅Xo-a⋅Yo

ラインの一般的な形状と比較すると：

A = b、B = -aおよびC =b⋅Xo-a⋅Yo

例3

ディレクターベクトルがu =（2、-1）である線の一般的な形式を見つけます。

そして、それは点P =（1、5）を通過します。

一般的な形式を見つけるために、与えられた式を使用できますが、代替パスが選択されます。

まず、uの成分を交換し、2番目に-1を乗算して得られるベクトルとして定義される、ディレクターベクトルuのデュアルベクトルwを見つけることから始めます。

w =（-1、-2）

双対ベクトルwは、ダイレクタベクトルvの時計回りの90度回転に対応します。

wに（X、Y）と（Xo、Yo）をスカラー倍して、等しく設定します。

（-1、-2）•（X、Y）=（-1、-2）•（1、5）

-X-2Y = -1-2⋅5= -11

最後に残ります：

X + 2Y = 11

線の方程式の標準形

これは、XY平面の線の標準形式として知られています。次の構造を持っています。

Y =m⋅X+ d

ここで、mは勾配を表し、dはY軸との切片を表します。

方向ベクトルu =（a、b）が与えられると、勾配mはb / aになります。

Y dは、既知の点Xo、IをXとYで置き換えることによって得られます。

I =（b / a）Xo + d。

つまり、m = b / aおよびd = I-（b / a）Xo

勾配mは、ダイレクタベクトルのyコンポーネントとそのxコンポーネント間の商です。

実施例4

ディレクターベクトルがu =（2、-1）である線の標準形式を求めます。

そして、それは点P =（1、5）を通過します。

m =-½およびd = 5-（-½）1 = 11/2

Y =（-1/2）X + 11/2

解決された演習

-演習1

平面（Π）：X-Y + Z = 3と平面（Ω）：2X + Y = 1の交点である直線（L）のディレクタベクトルを見つけます。

次に、線（L）の方程式の連続形式を記述します。

解決

平面（Ω）クリアランスの方程式からY：Y = 1 -2X

次に、平面の方程式（Π）を代入します。

X-（1-2X）+ Z = 3⇒3X + Z = 4⇒Z = 4-3X

次に、Xをパラメーター化し、パラメーター化X =λを選択します

これは、線が次の式で与えられるベクトル方程式を持つことを意味します。

（X、Y、Z）=（λ、1-2λ、4-3λ）

これは次のように書き換えることができます。

（X、Y、Z）=（0、1、4）+λ（1、-2、-3）

これにより、ベクトルu =（1、-2、-3）がライン（L）のディレクタベクトルであることは明らかです。

ライン（L）の連続形式は次のとおりです。

（X-0）/ 1 =（Y-1）/（-2）=（Z-4）/（-3）

-演習2

平面が5X + Y + 4Z = 5の場合

そして方程式がX / 1 =（Y-2）/ 3 =（Z -2）/（-2）である線

平面と直線が平行になるようにaの値を決定します。

解決策2

ベクトルn =（5、a、4）は、平面に垂直なベクトルです。

ベクトルu =（1、3、-2）は、直線の方向ベクトルです。

線が平面に平行である場合、n•v = 0。

（5、a、4）•（1、3、-2）= 5 +3 a -8 = 0⇒a = 1。

参考文献

1. Fleming、W.、&Varberg、DE（1989）。計算前の数学。プレンティスホールPTR。
2. コルマン、B（2006）。線形代数。ピアソン教育。
3. Leal、JM、&Viloria、NG（2005）。平面解析ジオメトリ。メリダ-ベネズエラ：エディトリアルベネゾラナCA
4. ナバロ、ロシオ。ベクトル。回収元​​：books.google.co.ve。
5. ペレス、CD（2006）。事前計算。ピアソン教育。
6. Prenowitz、W。2012。ジオメトリの基本概念。ローマン&リトルフィールド。
7. サリバン、M。（1997）。事前計算。ピアソン教育。