法線ベクトルは、例えば、曲線、平面又は表面、によって行うことができる検討中のいくつかの幾何学的エンティティ、に垂直な方向を定義するものです。
これは、移動する粒子や空間内の表面を配置する際に非常に役立つ概念です。次のグラフでは、任意の曲線Cの法線ベクトルがどのようなものかを確認できます。
図1.点Cの曲線に垂直なベクトルを持つ曲線C。出典：Svjo
曲線C上の点Pを考えます。この点は、C形のパスに沿って移動する移動粒子を表すことができます。点Pでの曲線への接線は赤で描かれています。
ベクトルTは各点でCに接し、ベクトルNはTに垂直であり、弧がCのセグメントである仮想円の中心を指すことに注意してください。ベクトルは、印刷されたテキストでは太字で示されています。それらを他の非ベクトル量と区別してください。
ベクトルTは常に粒子が移動している場所を示すため、粒子の速度を示します。一方、ベクトルNは常に粒子が回転する方向を指しているため、曲線Cの凹面を示しています。
法線ベクトルを平面に取得する方法は？
法線ベクトルは、必ずしも単位ベクトル、つまり係数が1のベクトルである必要はありませんが、1の場合、法線単位ベクトルと呼ばれます。
図2.左側は平面Pと、その平面に垂直な2つのベクトル。右側は、空間を決定する3つの方向の単位ベクトルです。出典：ウィキメディア・コモンズ。著者のページを参照してください
多くのアプリケーションでは、曲線ではなく平面に垂直なベクトルを知る必要があります。このベクトルは、空間における前記平面の方向を明らかにします。たとえば、図の平面P（黄色）を考えます。
この平面には、n 1とn 2の2つの法線ベクトルがあります。どちらを使用するかは、上記の平面が見つかったコンテキストに依存します。平面の方程式がわかっている場合、平面への法線ベクトルを取得することは非常に簡単です。
ここで、ベクトルNは、xyz空間を決定する3つの方向に沿った、垂直単位ベクトルi、j、およびkで表されます。図2右を参照してください。
ベクトル積からの法線ベクトル
法線ベクトルを見つける非常に簡単な手順は、2つのベクトル間のベクトル積のプロパティを利用します。
知られているように、互いに同一線上にない3つの異なる点が平面Pを決定します。ここで、これらの3つの点を持つ前記平面に属する2つのベクトルuとvを取得できます。
ベクトルが取得されると、ベクトル積u x vは演算であり、その結果はベクトルとなり、uとvによって決定される平面に垂直であるという特性を持ちます。
このベクトルは既知であり、Nとして示されます。これから、前のセクションで示した方程式により、平面の方程式を決定することができます。
N = u x v
次の図は、説明されている手順を示しています。
図3. 2つのベクトルとそれらのベクトル積またはクロスを使用して、2つのベクトルを含む平面の方程式が決定されます。出典：ウィキメディア・コモンズ。機械可読の著者が提供されていません。M.Romero Schmidtkeを想定（著作権の主張に基づく）。
例
点A（2,1,3）によって決定される平面の方程式を見つけます。B（0、1、1）; C（4.2.1）。
解決
この演習では、上記の手順を説明します。3つの点を持つことにより、これらの点によって定義される平面に属する2つのベクトルの共通の原点として、それらの1つが選択されます。たとえば、点Aが原点として設定され、ベクトルABおよびACが作成されます。
ベクトルABは、原点が点Aで終点が点Bのベクトルです。ベクトルABの座標は、Aの座標からBの座標をそれぞれ差し引くことによって決定されます。
同じ方法でベクトルACを見つけます。
ベクトル積の計算
2つのベクトル間の外積を見つける手順はいくつかあります。この例では、次の図を使用して、単位ベクトルi、j、およびkの間のベクトル積を見つけるニーモニックプロシージャを使用しています。
図4.単位ベクトル間のベクトル積を決定するグラフ。出典：自作。
まず、並列ベクトル間のベクトル積はnullであることを覚えておくことをお勧めします。したがって、次のようになります。
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
そして、ベクトル積は、関与するベクトルに垂直な別のベクトルなので、次の赤い矢印の方向に移動します。
矢印と反対方向に移動する必要がある場合は、記号（-）を追加します。
合計で、単位ベクトルi、j、およびkを使用して9つのベクトル積を作成することができます。そのうち3つはnullになります。
AB x AC =（-2 i + 0 j -2 k）x（2 i + j -2 k）= -4（i x i）-2（i x j）+4（i x k）+0（j x i）+ 0（j x j）-0（j x k）-4（k x i）-2（k x j）+ 4（k x k）= -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
平面の方程式
ベクトルNは、以前に計算されたベクトル積によって決定されています。
N = 2 i -8 j -2 k
したがって、a = 2、b = -8、c = -2、求められる平面は次のとおりです。
dの値はまだ決定されていません。これは、利用可能な点A、B、またはCのいずれかの値を平面の方程式に代入すると簡単です。たとえば、Cを選択します。
x = 4; y = 2; z = 1
残り：
要するに、求められるマップは：
好奇心旺盛な読者は、AB x ACを実行する代わりにAC x ABを実行するように選択された場合、同じ結果が得られたかどうか疑問に思うかもしれません。答えは「はい」です。図2に示すように、これら3つの点によって決定される平面は一意であり、2つの法線ベクトルがあります。
ベクトルの原点として選択した点は、他の2つを選んでも問題ありません。
参考文献
- Figueroa、D.（2005）。シリーズ：理工学のための物理学。ボリューム1.キネマティクス。ダグラスフィゲロア（USB）によって編集されました。31- 62。
- 平面の法線を見つける。から回復：web.ma.utexas.edu。
- ラーソン、R（1986）。微積分学と分析幾何学。Mc Graw Hill。616-647。
- R 3の線と面。math.harvard.eduから回復。
- 法線ベクトル。 mathworld.wolfram.comから復元されました。