非 - 同一平面上のベクトルが同一平面を共有しないものです。2つの自由ベクトルと1つの点が1つの平面を定義します。3番目のベクトルは、その平面を共有する場合と共有しない場合があり、共有しない場合は、同一平面上にないベクトルです。
同一平面上にないベクトルは、黒板や紙のような2次元空間では表現できません。それらのいくつかは3次元に含まれているためです。それらを適切に表現するには、パースペクティブを使用する必要があります。
図1.コプレーナベクトルと非コプレーナベクトル。（独自の詳細）
図1を見ると、表示されているすべてのオブジェクトは厳密に画面の平面にありますが、遠近法のおかげで、脳はそこから出てくる平面（P）を想像することができます。
その平面（P）にはベクトルr、s、uがありますが、ベクトルvおよびwはその平面にはありません。
したがって、ベクトルr、s、uは同じ平面（P）を共有するため、互いに同一平面または同一平面にあります。ベクトルvとwは、表示されている他のベクトルと平面を共有しないため、同一平面上にありません。
コプレーナベクトルと平面の方程式
3次元空間に3つの点がある場合、平面は一意に定義されます。
これら3つの点が、平面（P）を定義する点A、点B、および点Cであるとします。これらの点を使用して、平面（P）と同一平面上にある2つのベクトルAB = uおよびAC = vを作成できます。
これらの2つのベクトルのベクトル積（または外積）は、3番目のベクトルがそれらに垂直（または法線）になるため、平面（P）に垂直になります。
N = U X V => N ⊥ U及びN ⊥ V => N ⊥（P）
平面（P）に属するその他の点は、ベクトルAQがベクトルnに垂直であることを満たしている必要があります。これは、nとAQの内積（または内積）はゼロでなければならないということと同じです。
n • AQ = 0（*）
前の条件は、次のように言うことと同じです。
AQ •（u X v）= 0
この方程式は、点Qが平面（P）に属することを保証します。
平面のデカルト方程式
上記の方程式はデカルト形式で書くことができます。このため、点A、Qの座標と法線ベクトルnの成分を書き込みます。
したがって、AQのコンポーネントは次のとおりです。
平面（P）に含まれるベクトルAQの条件は、次のように記述された条件（*）です。
ドット積の計算は残ります：
それが開発されて再配置された場合、それは残ります：
前の式は、（P）に垂直なベクトルの成分と（P）に属する点Aの座標の関数としての平面（P）のデカルト方程式です。
3つのベクトルが同一平面上にないための条件
前のセクションで見たように、条件AQ •（u X v）= 0は、ベクトルAQがuおよびvと同一平面上にあることを保証します。
ベクトルAQ wを呼び出すと、次のことを確認できます。
wは、U及びVは、場合にのみ、同一平面上にあるW •（U X V）= 0。
非共面性状態
3つのベクトルの3乗積（または混合積）がゼロと異なる場合、それらの3つのベクトルは同一平面上にありません。
場合wは •（U X V）≠0、その後のベクトルU、V、Wは非同一平面上にあります。
ベクトルu、v、wのデカルト成分が導入された場合、非共平面性の条件は次のように書くことができます。
三重積は幾何学的解釈があり、3つの非共面ベクトルによって生成された平行六面体の体積を表します。
図2. 3つの非共面ベクトルは、体積が3乗積のモジュールである平行六面体を定義します。（独自の詳細）
その理由は次のとおりです。同一平面上にない2つのベクトルをベクトルで乗算すると、その大きさがベクトルで生成される平行四辺形の面積となるベクトルが取得されます。
次に、このベクトルに3番目の非共面ベクトルがスカラー倍されると、最初の2つが決定する平面に垂直なベクトルへの投影が、それらが決定する面積で乗算されます。
言い換えると、最初の2つに3番目のベクトルの高さを掛けて生成された平行四辺形の面積があります。
非共面性の代替条件
3つのベクトルがあり、それらのいずれも他の2つの線形結合として記述できない場合、3つのベクトルは同一平面上にありません。つまり、次の条件の場合、3つのベクトルu、v、およびwは同一平面上にありません。
α U +β V +γ W = 0
α= 0、β= 0、γ= 0の場合にのみ満たされます。
解決された演習
-演習1
3つのベクトルがあります
u =（-3、-6、2）; v =（4、1、0）およびw =（-1、2、z）
ベクトルwの z成分は不明であることに注意してください。
3つのベクトルが同じ平面を共有しないことが保証されるように、zが取り得る値の範囲を見つけます。
解決
w •（u X v）= -3（z-0）+ 6（4 z-0）+ 2（8 + 1）= -3z + 24z + 18 = 21z + 18
この式を値ゼロに設定します
21 z + 18 = 0
そして、私たちはzを解きます
z = -18 / 21 = -6/7
変数zの値が-6/7の場合、3つのベクトルは同一平面になります。
したがって、ベクトルが同一平面上にないことを保証するzの値は、次の間隔のものです。
z∈（-∞、-6 / 7）U（-6/7、∞）
-演習2
次の図に示す平行六面体のボリュームを見つけます。
解決
図に示されている平行六面体の体積を見つけるために、座標系の原点にある3つの同時非共面ベクトルのデカルト成分が決定されます。1つ目は、4mのX軸に平行なベクトルuです。
u =（4、0、0）m
2番目は、サイズ3mのXY平面内のベクトルvであり、X軸と60ºを形成します。
v =（3 * cos60º、3 * sin60º、0）=（1.5、2.6、0.0）m
3番目は、5m のベクトルwであり、XY平面での投影はX軸で60ºを形成し、さらにwはZ軸で30ºを形成します。
w =（5 * sin30º* cos60º、5 * sin30º* sin60º、5 * sin30º）
計算が完了すると、w =（1.25、2.17、2.5）mになります。
参考文献
- Figueroa、D.シリーズ：科学と工学のための物理学。ボリューム1.キネマティクス。31-68。
- 物理的。モジュール8：ベクトル。回収元：frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler、R。2006。エンジニアのための力学。静的 第6版。Continental Publishing Company。28-66。
- マクリーン、Wショームシリーズ。エンジニアのための力学：静的および動的。第3版。マグローヒル。1-15。
- ウィキペディア。ベクター。回復元：es.wikipedia.org