角速度：定義、公式、計算、および演習 - 物理的 - 2025

角速度は、回転速度の尺度であり、単位時間当たり、回転オブジェクトの位置ベクトルを回転させる角度として定義されます。CD、車の車輪、機械、地球など、あらゆる場所で絶えず回転する多数のオブジェクトの動きを非常によく表す大きさです。

«London eye»の図を次の図に示します。これは、点Pで表される乗客の動きを表しており、cと呼ばれる円形の経路をたどります。

«ロンドンアイ»の乗客がたどる円形の経路の概略図。出典：自作。

乗客は瞬間tで位置Pを占め、その瞬間に対応する角度位置はϕです。

瞬間ｔから、期間Δｔが経過する。この期間では、時間厳守の乗客の新しい位置はP 'であり、角度位置は角度Δϕだけ増加しています。

角速度はどのように計算されますか？

回転量については、線形文字と区別するためにギリシャ文字が広く使用されています。そう最初に、平均角速度ω _mが定義されている所定の時間に移動角度として。

その後、商Δφ/Δtは、平均角速度ω表します_Mを瞬間tと時刻t +Δtの間。

瞬間tでの角速度を計算する場合は、Δt➡0のときの比率Δϕ /Δtを計算する必要があります。

線速度と角速度の関係

直線速度vは、移動距離と移動時間の商です。

上の図では、移動したアークはΔsです。しかし、その弧は移動した角度と半径に比例し、次の関係が満たされます。これは、Δϕがラジアンで測定されている限り有効です。

Δs= r・Δϕ

前の式を経過時間Δtで割って、Δt➡0のときの限界をとると、次のようになります。

v = r・ω

均一な回転運動

写真は有名な「ロンドンアイ」で、135メートルの高さの回転ホイールでゆっくり回転するので、キャビンに乗って、ロンドンの景色を楽しむことができます。出典：Pixabay。

観察された任意の瞬間に、移動した角度が同じ期間で同じであれば、回転運動は均一です。

回転が均一である場合、任意の瞬間の角速度は平均角速度と一致します。

さらに、完全に回転したときの移動角度は2π（360度に相当）です。したがって、等速回転では、角速度ωは次の式によって周期Tに関連付けられます。

f = 1 / T

つまり、均一な回転では、角速度は次のようにして周波数に関連付けられます。

ω=2π・f

角速度の解決された問題

演習1

「ロンドンアイ」として知られる大回転車のキャビンはゆっくりと動きます。キャブの速度は26 cm /秒で、ホイールの直径は135 mです。

これらのデータを使用して計算します：

i）車輪の角速度

ii）回転周波数

iii）キャビンが完全に回転するのにかかる時間。

答え：

i） m / s単位の速度vは、v = 26 cm / s = 0.26 m / sです。

半径は直径の半分です：r =（135 m）/ 2 = 67.5 m

v = r・ω=>ω= v / r =（0.26 m / s）/（67.5 m）= 0.00385 rad / s

ii） ω=2π・f => f =ω/2π=（0.00385 rad / s）/（2πrad）= 6.13 x 10 ^-4回転/ s

f = 6.13 x 10 ^ -4回転/ s = 0.0368回転/分= 2.21回転/時間。

iii） T = 1 / f = 1 / 2.21ラップ/時間= 0.45311時間= 27分11秒

演習2

おもちゃの車が半径2mの円形トラックを移動します。0秒では、その角度位置は0ラジアンですが、時間tの後、その角度位置は次のように与えられます。

φ（t）= 2・t

決定：

i）角速度

ii）任意の瞬間の線速度。

答え：

i）角速度は角位置の微分です：ω=φ '（t）= 2。

つまり、おもちゃの車は常に2 rad / sに等しい一定の角速度を持っています。

ii）車の線形速度は次のとおりです。v = r・ω= 2 m・2 rad / s = 4 m / s = 14.4 Km / h

演習3

前の練習と同じ車が停止し始めます。時間の関数としての角度位置は、次の式で与えられます。

φ（t）= 2・t-0.5・t ²

決定：

i）任意の瞬間の角速度

ii）任意の瞬間の線速度

iii）減速し始めてから停止するまでの時間

iv）移動した角度

v）移動距離

答え：

i）角速度は角位置の微分です：ω=φ '（t）

ω（t）=φ '（t）=（2・t-0.5・t ²）' = 2-t

ii）任意の瞬間における自動車の線形速度は、次の式で与えられます。

v（t）= r・ω（t）= 2・（2-t）= 4-2 t

iii）減速し始めた瞬間から停止するまでの時間は、速度v（t）がゼロになる瞬間を知ることで決まる。

v（t）= 4-2 t = 0 => t = 2

つまり、ブレーキをかけ始めてから2秒後に停止します。

iv）ブレーキを開始してから停止するまでの2秒間で、φによって与えられる角度（2）：

φ（2）= 2・2-0.5・2 ^ 2 = 4-2 = 2 rad = 2 x 180 /π= 114.6度

v）ブレーキングの開始から停止までの2秒の間に、次の式で与えられる距離sが移動します。

s = r・φ= 2m・2 rad = 4 m

演習4

車のホイールは直径80 cmです。車が時速100 kmで走行する場合。検索：i）車輪の回転の角速度、ii）車輪の回転の頻度、iii）車輪が1時間の旅行で行う回転数。

答え：

i）まず、車の速度をKm / hからh / sに変換します

v = 100 Km / h =（100 / 3.6）m / s = 27.78 m / s

車輪の回転の角速度は次の式で与えられます。

ω= v / r =（27.78 m / s）/（0.4 m）= 69.44 rad / s

ii）ホイールの回転周波数は次の式で与えられます。

f =ω/2π=（69.44 rad / s）/（2πrad）= 11.05回転/ s

回転数は通常、毎分回転数rpmで表されます。

f = 11.05回転/ s = 11.05回転/（1/60）分= 663.15 rpm

iii）ホイールが1時間の走行で行う周回数は、1時間= 60分であり、頻度は周回数NをこれらのN周が行われた時間で割ったものとして計算されます。

f = N / t => N = f・t = 663.15（回転/分）x 60分= 39788.7回転

参考文献

1. ジャンコリ、D。物理学。アプリケーションの原則。第6版。プレンティスホール。106-108。
2. Resnick、R.（1999）。物理的。第1巻。スペイン語の第3版。メキシコ。CompañíaEditorial Continental SA de CV 67-69。
3. Serway、R.、Jewett、J.（2008）。科学と工学のための物理学。第1巻。版。メキシコ。Cengage Learning Editors。84-85。
4. geogebra.org