離散確率分布は、 Xが与えられた離散的な確率変数であり、Sはサンプル空間、ある確率であるXの各要素（S）に割り当てる= {X1、X2、…、XI、…}の関数であります上記のイベントが発生します。このX（S）の関数fは、f（xi）= P（X = xi）として定義され、確率質量関数と呼ばれることもあります。
この確率の塊は、通常、表形式で表されます。Xは離散確率変数であるため、X（S）には有限数のイベントまたは可算無限があります。最も一般的な離散確率分布には、一様分布、二項分布、およびポアソン分布があります。
特徴
確率分布関数は次の条件を満たす必要があります。
さらに、Xが有限数の値（たとえば、x1、x2、…、xn）のみを取る場合、i> nyの場合、p（xi）= 0なので、無限の一連の条件bはaになります。有限シリーズ。
この関数は、次のプロパティも満たします。
Bを確率変数Xに関連付けられたイベントとします。これは、BがX（S）に含まれていることを意味します。具体的には、B = {xi1、xi2、…}と仮定します。したがって：
つまり、イベントBの確率は、Bに関連付けられた個々の結果の確率の合計に等しくなります。
これから、a <bの場合、イベント（X≤a）と（a <X≤b）は相互に排他的であり、さらに、それらの和集合はイベント（X≤b）であるため、次のようになります。
タイプ
n点にわたる均一分布
確率変数Xは、各値に同じ確率が割り当てられている場合、n点で均一であることを特徴とする分布に従います。その確率質量関数は次のとおりです。
可能な結果が2つある実験があるとします。それは、表または裏が可能な結果であるコインのトス、または結果が偶数または奇数になる可能性がある整数の選択です。このタイプの実験は、ベルヌーイ検定として知られています。
一般に、2つの可能な結果は成功と失敗と呼ばれ、pは成功の確率、1-pは失敗の確率です。次の分布で互いに独立しているn個のベルヌーイ検定でx回の成功の確率を決定できます。
二項分布
成功の確率がpであるn個の独立したベルヌーイ検定でx回の成功を得る確率を表す関数です。その確率質量関数は次のとおりです。
次のグラフは、二項分布のパラメーターのさまざまな値の確率質量関数を表しています。
次の分布は、フランスの数学者Simeon Poisson（1781-1840）がその名前を二項分布の限界として取得したためです。
ポアソン分布
確率変数Xは、次の確率で正の整数値0、1、2、3、…を取ることができる場合、パラメーターλのポアソン分布を持つと言われます。
この式で、λは各時間単位のイベントの発生に対応する平均数であり、xはイベントの発生回数です。
その確率質量関数は次のとおりです。
これは、ポアソン分布のパラメーターのさまざまな値の確率質量関数を表すグラフです。
成功の数が少なく、二項分布で実行されるテストの数が多い限り、ポアソン分布が二項分布の限界であるため、常にこれらの分布を近似できます。
これらの2つの分布の主な違いは、2項式は2つのパラメーター、つまりnとpに依存しますが、ポアソンはλにのみ依存します。これは、分布の強度と呼ばれることもあります。
これまでは、異なる実験が互いに独立している場合の確率分布についてのみ説明してきました。つまり、ある結果が他の結果の影響を受けない場合です。
独立していない実験がある場合に発生する場合、超幾何分布は非常に役立ちます。
超幾何分布
Nを有限セットのオブジェクトの総数とすると、そのうちのいくつかは何らかの方法でこれらのkを識別できるため、サブセットKが形成され、その補集合は残りのNk要素によって形成されます。
n個のオブジェクトをランダムに選択した場合、その選択でKに属するオブジェクトの数を表すランダム変数Xには、パラメーターN、n、kの超幾何分布があります。その確率質量関数は次のとおりです。
次のグラフは、超幾何分布のパラメーターのさまざまな値の確率質量関数を表しています。
解決された演習
最初の練習
（特定の種類の機器に設置された）ラジオ管が500時間以上動作する確率が0.2であると仮定します。20本のチューブをテストする場合、これらのうち正確にk本が500時間を超えて稼働する可能性はどの程度ですか（k = 0、1、2、…、20）。
解決
Xが500時間を超えて動作するチューブの数である場合、Xは二項分布であると想定します。そう
など：
k≥11の場合、確率は0.001未満です
したがって、これらのkが500時間を超えて機能する確率が、最大値（k = 4の場合）に達してから減少し始めるまで、どのように増加するかを確認できます。
2番目の練習
コインを6回投げます。結果が高額な場合は、成功と言えます。2つのヘッドが正確に現れる確率はどれくらいですか？
解決
この場合、n = 6であり、成功と失敗の確率は両方ともp = q = 1/2です。
したがって、2つの頭が与えられる確率（つまり、k = 2）は
3番目の練習
少なくとも4つの頭を見つける確率はどれくらいですか？
解決
この場合、k = 4、5、または6になります。
3番目の練習
工場で生産されたアイテムの2％に欠陥があると仮定します。100アイテムのサンプルに3つの不良アイテムがある確率Pを求めます。
解決
この場合、n = 100とp = 0.02の二項分布を適用すると、結果として次のようになります。
ただし、pは小さいため、λ= np = 2のポアソン近似を使用します。そう、
参考文献
- カイライチョン。確率過程を伴う初等確率理論。Springer-Verlag New York Inc
- ケネス ローゼン：離散数学とその応用。SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DEESPAÑA。
- ポール・L・マイヤー。確率と統計アプリケーション。SA ALHAMBRA MEXICANA。
- シーモアリプスチャッツ博士 2000離散数学の問題を解決しました。マグローヒル。
- シーモアリプスチャッツ博士 理論と確率の問題。マグローヒル。