3の平方根とは何ですか？ - 数学

3の平方根が何であるかを知るには、数値の平方根の定義を知ることが重要です。

正の数 "a"が与えられると、√aで表される "a"の平方根は正の数 "b"になるため、 "b"に乗算すると、結果は "a"になります。

数学的定義によれば、√a= bであり、かつb²= b * b = aの場合のみです。

したがって、3の平方根が何であるか、つまり√3の値を知るには、b²= b * b =√3となるような数値 "b"を見つける必要があります。

また、√3は無理数であるため、小数点以下の桁数が無限の非周期的な数値で構成されます。このため、3の平方根を手動で計算することは困難です。

3の平方根

電卓を使用すると、3の平方根が1.73205080756887であることがわかります。

これで、この数を次のように手動で概算することができます。

-1 * 1 = 1および2 * 2 = 4は、3の平方根が1〜2の数であることを示します。

-1.7 * 1.7 = 2.89および1.8 * 1.8 = 3.24、したがって小数点第1位は7です。

-1.73 * 1.73 = 2.99および1.74 * 1.74 = 3.02なので、小数点第2位は3です。

-1.732 * 1.732 = 2.99および1.733 * 1.733 = 3.003なので、小数点第3位は2です。

そして、あなたは続けることができます。これは、3の平方根を手動で計算する方法です。

近似を計算する数値的手法であるニュートンラフソン法など、他のはるかに高度な手法もあります。

数が複雑なため、日常のオブジェクトには表示されないと考えられるかもしれませんが、これは誤りです。辺の長さが1であるような立方体（正方形の箱）がある場合、立方体の対角線のメジャーは√3になります。

これを確認するには、ピタゴラスの定理を使用します。つまり、直角三角形が与えられた場合、斜辺の2乗は脚の2乗の合計に等しくなります（c²=a²+b²）。

辺1の立方体を持つことにより、その底辺の正方形の対角線が脚の正方形の合計に等しい、つまりc²=1²+1²= 2になるため、底辺の対角線は√2。

ここで、立方体の対角線を計算するために、次の図を観察できます。

新しい直角三角形の長さは1と√2であるため、ピタゴラスの定理を使用して対角線の長さを計算すると、C²=1²+（√2）²= 1 + 2 = 3、つまり例えば、C =√3。

したがって、辺が1の立方体の対角線の長さは√3になります。

当初、√3は無理数であると言われていました。これをチェックするために、不合理性によって、それが有理数であると想定されます。これには、a / b =√3のような相対素数「a」と「b」の2つの数があります。

最後の等式を二乗して「a²」を解くと、次の方程式が得られます：a²= 3 *b²。これは、「a²」が3の倍数であることを示し、「a」は3の倍数であるという結論につながります。

「a」は3の倍数であるため、a = 3 * kのような整数「k」があります。したがって、2番目の式を置き換えることにより、（3 * k）²= 9 *k²= 3 *b²が得られます。これは、b²= 3 *k²と同じです。

前と同じように、この最後の等式は、「b」が3の倍数であるという結論につながります。

結論として、「a」と「b」はどちらも3の倍数です。これは、もともと相対素数であると想定されていたため、矛盾しています。

したがって、√3は無理数です。