暗黙的な誘導体は、関数に適用差分技術で使用されるツールです。通常の方法では、従属変数が導出されるように解決することができない場合に適用されます。このクリアランスは、独立変数の関数として実行されます。
例えば、式中3xy 3 - 2Y + XY 2 = XY、「X」の関数として定義する「Y」を得ることができないことを表現。したがって、微分式を導出することにより、dy / dxを取得できます。
陰的デリバティブはどのように解決されますか？
陰的微分を解くために、陰的表現から始めます。例えば：3xy 3 - 2Y + XY 2 - XY = 0これは、既に正しく解決されている、しかし、そうすることは、Xに対するYの誘導体を得るための必要条件ではありません。次に、各要素が混合関数のチェーンルールに従って派生します。
3xy 3は2つの変数で構成されているため、d（3xy 3）は関数の積の導関数として扱われます。
d（3xy 3）/ dx = 3y 3 + 3y 2.（3x）y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
要素y 'は「y素数」と呼ばれ、dy / dxを表します
-2y法則に従って導出されますKU = K.U '
d（-2y）= -2 y '
xy 2は、関数の積で構成される別の微分を仮定します
d（xy 2）= y 2 + 2xy y '
-xyは同様に扱われます
d（-xy）= -y-x y '
それらは、ゼロの導関数がゼロであることを知って、同等に置き換えられます。
3y 3 + 9xy 2 y '-2 y' + y 2 + 2xy y '-y-x y' = 0
用語yを持つ要素は、等式の片側でグループ化されます
3y 3 + y 2 -y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
共通因子y 'は、等式の右側から抽出されます
3y 3 + y 2 -y = y '（-9xy 2 + x + 2）
最後にy 'を乗算する用語がクリアされました。したがって、xに関するyの陰的導関数に対応する式を取得します。
y '= dy / dx =（3y 3 + y 2 -y）/（-9xy 2 + x + 2）
連鎖法則
暗黙的な導出では、チェーンルールが常に尊重されます。すべての微分式は、独立変数Xの関数として与えられます。したがって、X以外のすべての変数θには、導出後、項dθ/ dxを含める必要があります。
この用語は、1次数または1に等しい指数でのみ表示されます。この品質により、従来の因数分解法では完全に明確になります。したがって、微分dθ/ dxを定義する式を取得できます。
連鎖規則は、微分または微分プロセスの漸進的な性質を示します。すべての複合関数fについて、fの微分式は次のようになります。
運用順序
適用される各公式または導出法則では、変数の順序を考慮する必要があります。従属変数との相関を変更せずに、独立変数に関連付けられた基準が尊重されます。
派生時の従属変数の関係は直接取得されます。これが2番目の関数と見なされることを除いて、混合関数の連鎖ルール基準が適用されるのはこのためです。
これは、2つ以上の変数を持つ式で作成できます。同じ原則の下で、従属変数を参照するすべての微分が示されます。
グラフィカルに、派生物を定義する同じ基準が処理されます。導関数は平面内の曲線に対する接線の傾きですが、従属変数（dy / dx、dz / dx）に属する残りの微分は、複数の変数関数によって記述されるベクトルボディに接する平面を表します。
暗黙
FがR 2平面で定義されている限り、式y = f（x）が複数変数関数F（x、y）= 0として表せる場合、関数は暗黙的に定義されていると言います。
3xy 3 - 2Y + XY 2 = XY形式で書くことができる3xy 3 - 2Y + XY 2 - XY = 0
関数y = f（x）を明示的にすることは不可能であることを考慮して。
歴史
微分積分学は、17世紀頃にさまざまな数学的研究者によって命名され始めました。それが最初に言及されたのは、ニュートンとライプニッツの貢献によるものでした。両方とも、異なる視点から微分微積分を扱いましたが、結果は収束しました。
ニュートンは変化の速度または速度として差別化に焦点を合わせていましたが、ライプニッツのアプローチはより幾何学的でした。ニュートンがペルゲのアポロニウスとライプニッツによって残された推測を、フェルマーの幾何学的な考えに攻撃したと言えます。
微分方程式と積分方程式を検討すると、暗黙の微分がすぐに現れます。これらは、ライプニッツの幾何学的概念をR 3に、さらには多次元空間にまで拡張しました。
用途
暗黙的な導関数はさまざまな状況で使用されます。それらは、関連する変数間の為替レートの問題で一般的であり、研究の感覚に応じて、変数は従属または独立と見なされます。
また、数学的にモデル化できる形状を持つ図形に対して、反射や影の問題など、興味深い幾何学的応用があります。
それらは、経済学や工学の分野で、また自然現象や実験的な建物のさまざまな調査で頻繁に使用されます。
解決された演習
演習1
dy / dxを定義する暗黙の式を定義する
式の各要素は区別されます
有能なケースごとにチェーンルールを確立する
等式の片側にdy / dxがある要素のグループ化
共通因子を使用して因数分解されます
求める表現を手に入れて解決
演習2
dy / dxを定義する暗黙の式を定義する
実施するデリバティブの表現
チェーンルールに従って暗黙的に導出する
共通要素の因数分解
等式の片側でdy / dxという用語をグループ化する
微分要素の共通要素
求める表現を分離して取得
参考文献
- 単一変数の微積分。ロン・ラーソン、ブルース・H・エドワーズ。Cengage Learning、11月10日 2008年
- 陰関数の定理：歴史、理論、およびアプリケーション。スティーブンG.クランツ、ハロルドR.パークス。Springer Science&Business Media、11月9日。2012
- 多変数分析。Satish Shirali、Harkrishan Lal Vasudeva。Springer Science&Business Media、12月13日。2010
- システムダイナミクス：メカトロニクスシステムのモデリング、シミュレーション、および制御。ディーンC.カルノップ、ドナルドL.マーゴリス、ロナルドC.ローゼンバーグ。ジョンワイリー&サンズ、3月7日 2012
- 微積分：数学とモデリング。ウィリアムボールドリー、ジョセフR.フィードラー、フランクR.ジョルダーノ、エドロディ、リックヴィトレイ。Addison Wesley Longman、1月1日 1999年