楕円は、一般式形式である二次曲面とのグループに属している空間内の面です。
これは楕円に相当する3次元であり、一部の特殊なケースでは楕円形と円形のトレースを持っていることを特徴としています。トレースは、楕円体と平面を交差させて得られる曲線です。
図1. 3つの異なる楕円体：上部に3つの半軸が等しい球、左下に2つの等しい半軸と異なる1つの回転楕円体、最後に右下に3つの異なる軸を持つ3軸回転楕円体長さ。出典：ウィキメディア・コモンズ。Ag2gaeh / CC BY-SA（https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0）
楕円体に加えて、さらに5つの二次関数があります。1枚と2枚の双曲面、2種類の放物面（双曲と楕円）、楕円錐です。その痕跡も円錐形です。
楕円体は、デカルト座標の標準方程式で表すこともできます。原点（0,0,0）を中心とし、このように表現される楕円体は、楕円に似ていますが、追加の用語があります。
a、b、cの値は0より大きい実数であり、楕円体の3つの半軸を表します。
楕円体の特性
-標準方程式
点（h、k、m）を中心とする楕円のデカルト座標の標準方程式は次のとおりです。
-楕円体のパラメトリック方程式
球座標では、楕円体は次のように記述できます。
x = a sinθ。cosφ
y = b sinθ。センφ
z = c cosθ
楕円体の半軸はa、b、cのままですが、パラメーターは次の図の角度θとφです。
図2.球面座標系。楕円体は、表示された角度thetaおよびphiをパラメーターとして使用してパラメーター化できます。出典：ウィキメディア・コモンズ。Andeggs /パブリックドメイン。
-楕円体の痕跡
空間内の表面の一般方程式はF（x、y、z）= 0であり、表面のトレースは曲線です。
-x = c; F（c、y、z）= 0
-y = c; F（x、c、z）= 0
-z = c; F（x、y、c）= 0
楕円体の場合、そのような曲線は楕円であり、円である場合もあります。
-ボリューム
楕円体の体積Vは、（4/3）πと3つの半軸の積で与えられます。
V =（4/3）π。ABC
楕円体の特殊なケース
-すべての半軸が同じサイズの場合、楕円体は球体になります：a = b = c≠0。軸。
-回転楕円体は、2つの半軸が同一で3番目が異なる楕円体です。たとえば、a = b≠cのようになります。
回転楕円体は、回転楕円体とも呼ばれます。これは、楕円を軸の周りで回転させることによって生成できるためです。
回転軸が主軸と一致する場合、回転楕円体は扁長ですが、短軸と一致する場合は扁平です。
図3.左側が扁平回転楕円体、右側が扁長回転楕円体。出典：ウィキメディア・コモンズ。
回転楕円体（楕円率）の平坦化の尺度は、2つの半軸の長さの差によって与えられ、分数形式で表されます。つまり、次のように与えられる単位平坦化です。
f =（a-b）/ a
この方程式では、aが準主軸、bが準副軸を表しています。3番目の軸は回転楕円体のこれらの軸の1つに等しいことに注意してください。fの値は0から1の間で、回転楕円体の場合は0より大きくなければなりません（0に等しい場合は、単に球体になります）。
参照楕円体
惑星や星は一般に、完全な球体ではありません。それらの軸の周りの回転運動は、極で体を平らにし、赤道でそれを膨らませるからです。
そのため、地球は前の図ほど誇張されていませんが、扁平な回転楕円体のようになり、ガスの巨星である土星は太陽系の惑星の中で最も平坦です。
したがって、惑星を表現するより現実的な方法は、惑星が回転楕円体または楕円体のようなものであると想定することです。その半長軸は赤道半径で、半短軸は極半径です。
地球上で行われた注意深い測定により、地球の参照楕円体を数学的に操作する最も正確な方法として構築することが可能になりました。
また、星には回転運動があり、多かれ少なかれ平らな形になります。南の星座エリダヌス座でスピードを上げている星アチェルナーは、夜空で8番目に明るい星であり、大部分と比較すると著しく楕円形です。私たちから144光年です。
もう1つの極端な例として、数年前、科学者たちはこれまでで最も球形の物体を発見しました。5000光年離れた星のケプラー11145123、太陽の2倍のサイズで、わずか3 kmの半軸の差です。予想通り、回転速度も遅くなります。
地球に関しては、その頑丈な表面と局所的な重力の変化のために、それは完璧な回転楕円体でもありません。このため、複数の参照回転楕円体が利用可能であり、各サイトでその地域の地理に最も適したものが選択されます。
衛星の助けは、例えば南極が北極よりも赤道に近いことが知られているおかげで、地球の形状のますます正確なモデルを作成する上で非常に貴重です。
図4.ネプテューヌ期を越えた準惑星であるハウメアは、楕円体の形をしています。出典：ウィキメディア・コモンズ。
数値例
地球の回転により、遠心力が発生し、球ではなく楕円形の形状になります。地球の赤道半径は3963マイル、極半径は3942マイルであることが知られています。
赤道トレースの方程式、この楕円体の方程式、およびその平坦化の尺度を見つけます。また、土星の楕円率と比較してください。
-土星赤道半径：60,268 km
-土星の極半径：54,364 km
解決
座標系が必要です。座標系は、原点（地球の中心）を中心としています。垂直z軸と赤道に対応するトレースは、z = 0平面に相当するxy平面上にあると仮定します。
赤道面では、半軸aとbは等しいため、a = b = 3963マイル、c = 3942マイルです。これは特殊なケースです。上記のように、点（0,0,0）を中心とする回転楕円体です。
赤道の軌跡は、原点を中心とした半径R = 3963マイルの円です。これは、標準方程式でz = 0にすることによって計算されます。
そして、地球の楕円体の標準方程式は次のとおりです。
f 地球 =（a-b）/ a =（3963-3942）マイル/ 3963マイル= 0.0053
f 土星 =（60268-54363）km / 60268 km = 0.0980
楕円率fは無次元量であることに注意してください。
参考文献
- ArcGIS for Desktop。スフェロイドと球。リカバリ元：desktop.arcgis.com。
- BBCワールド。宇宙でこれまでに発見された最も球形の物体の謎。リカバリ元：bbc.com。
- ラーソン、R。微積分学および分析幾何学。第6版。ボリューム2。McGrawHill。
- ウィキペディア。楕円。から回復：en.wikipedia.org。
- ウィキペディア。スフェロイド。から回復：en.wikipedia.org。