分析ジオメトリ：調査対象、歴史、アプリケーション - 数学 - 2025

解析幾何学所定の座標系における基本的な代数技術と数学的解析を適用することによって試験線と幾何学的形状。

その結果、分析ジオメトリは、幾何学図形のすべてのデータ、つまり、ボリューム、角度、面積、交点、それらの距離などを詳細に分析する数学の分岐です。

分析ジオメトリの基本的な特徴は、数式を通じて幾何図形を表現できることです。

たとえば、円周は2次の多項式で表され、線は1次の多項式で表されます。

17世紀には、これまで解決策がなかった問題に対する回答を提供する必要があるため、分析ジオメトリが発生します。その代表はルネデカルトとピエールドゥフェルマーでした。

今日、それは現代数学の始まりを表しているので、多くの著者はそれを数学の歴史における革命的な創造物として指摘しています。

分析ジオメトリの歴史

解析幾何学という用語は、代数と幾何学を分離して使用して解決できない問題に対する答えを提供する必要があるため、17世紀にフランスで生まれましたが、解決策は両方を組み合わせて使用​​することにありました。

分析ジオメトリの主な代表

17世紀の間に、人生で偶然2人のフランス人が研究を行い、何らかの形で分析幾何学の作成に終わりました。これらの人々はピエール・ド・フェルマーとルネ・デカルトでした。

現在、解析ジオメトリの作成者はRenéDescartesであると考えられています。これは、彼がフェルマートの前に彼の本を出版したという事実と、分析幾何学の主題についてデカルトと深く関係しているためです。

ただし、FermatとDescartesはどちらも、線と幾何図形は方程式で表現でき、方程式は線または幾何図形で表現できることを発見しました。

この2人の発見によると、どちらも分析ジオメトリの作成者であると言えます。

ピエール・ド・フェルマー

ピエールドフェルマーは、1601年に生まれ、1665年に亡くなったフランスの数学者でした。彼の生涯の間に、彼は当時存在していた測定の問題を解決するためにユークリッド、アポロニウス、パップスの幾何学を研究しました。

後でこれらの研究は、幾何学の作成を引き起こしました。彼らは、1679年の彼の死から14年後に出版された彼の著書「平らで堅固な場所の紹介」（Ad Locos Planos et Solidos Isagoge）で表現されることになった。

ピエール・ド・フェルマーは、1623年に幾何学上の場所に関するアポロニウスの定理に分析幾何学を適用しました。彼はまた、分析ジオメトリを3次元空間に適用した最初の人物でもありました。

ルネ・デカルト

カルテシウスとしても知られる彼は、数学者、物理学者、哲学者であり、1596年3月31日にフランスで生まれ、1650年に亡くなりました。

ルネデカルトは1637年に「方法」として知られる彼の著書「理性を正しく行い、科学の真実を求める方法に関するディスコース」を出版し、そこから分析幾何学という用語が世界に紹介されました。その付録の1つは「ジオメトリ」でした。

分析ジオメトリの基本要素

分析ジオメトリは次の要素で構成されています。

デカルト座標系

このシステムはルネデカルトにちなんで名付けられました。

彼はそれを名付けた人でも、デカルト座標系を完成した人でもありませんでしたが、将来の学者がそれを完成できるようにする正の数で座標について話しました。

このシステムは、直交座標系と極座標系で構成されています。

直交座標系

直交座標系は、互いに垂直な2本の数直線のトレースによって形成される平面と呼ばれ、カットオフポイントは共通のゼロと一致します。

このシステムは、水平線と垂直線で構成されます。

水平線はX軸または横軸です。垂直線はY軸または縦軸になります。

極座標系

このシステムは、固定線および線上の固定点に対する点の相対位置の検証を担当します。

線のデカルト方程式

この方程式は、通過する2つの点がわかっている場合、直線から取得されます。

直線

ずれないので曲がりも角度もありません。

円錐

これらは、固定点を通過する線と曲線の点によって定義される曲線です。

楕円、円周、放物線、双曲線は円錐曲線です。それぞれについて以下に説明します。

周

円周は、閉じた平面曲線と呼ばれ、内部の点から、つまり円周の中心から等距離にある平面のすべての点によって形成されます。

たとえ話

これは、固定点（焦点）および固定線（準線）から等距離にある平面内の点の軌跡です。つまり、準線と焦点が放物線を定義するものです。

放物線は、母線に平行な平面を通る回転の円錐面の断面として取得できます。

楕円

平面内を移動するときの点を表す閉じた曲線は、2つの固定点（焦点と呼ばれる）までの距離の合計が一定になるように、楕円と呼ばれます。

双曲線

双曲線は、平面内の点の軌跡として定義される曲線と呼ばれ、2つの固定点（焦点）の距離の差は一定です。

双曲線には、焦点軸と呼ばれる焦点を通る対称軸があります。また、端に固定点を持つセグメントの二等分線もあります。

用途

日常生活のさまざまな分野で分析ジオメトリの多くのアプリケーションがあります。たとえば、分析ジオメトリの基本要素の1つである放物線は、今日使用されている多くのツールで見つけることができます。これらのツールの一部は次のとおりです。

衛星放送受信アンテナ

パラボラアンテナは、前記アンテナの軸上で回転する放物線の結果として生成された反射器を有する。この動作の結果として生成される表面は放物面と呼ばれます。

この放物面の能力は、放物線の光学特性または反射特性と呼ばれます。これにより、放物面は、アンテナを構成する給電メカニズムから受信する電磁波を反射することができます。

吊り橋

ロープが均一であるが同時にロープ自体の重量よりかなり大きい重量を支えている場合、結果は放物線になります。

この原理は、通常、幅広の鋼製ケーブル構造で支えられている吊り橋の建設の基本です。

吊り橋の放物線の原理は、米国のサンフランシスコ市にあるゴールデンゲートブリッジや、日本にあり、島と島を結ぶ明石海峡大橋などの構造物で使用されてきました。その国の本島である本州と淡路。

天文解析

分析幾何学はまた、天文学の分野で非常に具体的かつ決定的な用途を持っています。この場合、中心となる解析ジオメトリの要素は楕円です。惑星の運動のヨハネスケプラーの法則はこれを反映しています。

ドイツの数学者で天文学者であるケプラーは、楕円が火星の動きに最もよく合う曲線であると決定しました。彼は以前にコペルニクスによって提案された円形モデルをテストしましたが、彼の実験の最中に、楕円が彼が研究していた惑星のものと完全に類似した軌道を描くのに役立ったと推定しました。

楕円のおかげで、ケプラーは惑星が楕円軌道で移動したことを確認することができました。この考察は、ケプラーのいわゆる第二法則の声明でした。

この発見から、後にイギリスの物理学者で数学者のアイザックニュートンによって豊かになり、惑星の軌道運動を研究し、私たちが属している宇宙についての知識を増やすことができました。

カセグレン望遠鏡

カセグレン望遠鏡は、その発明者であるフランス生まれの物理学者ローランカセグレンにちなんで名付けられました。この望遠鏡では、主に2つのミラーで構成されるため、分析ジオメトリの原理が使用されます。1つ目は凹面と放物面、2つ目は凸面と双曲線です。

これらのミラーの位置と性質により、球面収差と呼ばれる欠陥が発生しなくなります。この欠陥は、光線が特定のレンズの焦点で反射するのを防ぎます。

カセグレン望遠鏡は、惑星の観測に非常に便利であるだけでなく、非常に用途が広く、使いやすいです。

参考文献

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