虚数は正方形に上昇不明、負の実数に等しくなっている方程式を解くものです。虚数単位はi =√（-1）です。
方程式では、z 2 =-a、zは次のように表される虚数です。
z =√（-a）=i√（a）
正の実数であること。a = 1の場合、z = iです。ここで、iは虚数単位です。
図1.実数、虚数、複素数を示す複素平面。出典：F. Zapata。
一般に、純粋な虚数zは常に次の形式で表されます。
z =y⋅i
ここで、yは実数、iは虚数単位です。
実数が実線と呼ばれる線で表されるのと同じように、虚数は架空の線で表されます。
架空の線は常に実線に対して直交（90度の形状）であり、2つの線は複素平面と呼ばれるデカルト平面を定義します。
図1では、複素平面が示され、その上にいくつかの実数、いくつかの虚数、およびいくつかの複素数が表されています。
X 1、X 2、X 3は実数です
Y 1、Y 2、Y 3は虚数です
Z 2とZ 3は複素数です
数値Oは実数ゼロであり、虚数ゼロでもあるため、原点Oは次の式で表される複素数ゼロです。
0 + 0i
プロパティ
虚数のセットは次のように表されます。
I = {……、-3i、…、-2i、…。、-i、…。、0i、…。、I、…。、2i、…。、3i、……}
また、この数値セットに対していくつかの演算を定義できます。これらの演算から虚数が常に得られるとは限らないので、もう少し詳しく見てみましょう。
虚数を加算および減算する
虚数を加算および減算して、新しい虚数を得ることができます。例えば：
3i + 2i = 5i
4i-7i = -3i
架空の製品
ある虚数と別の虚数の積を作成すると、結果は実数になります。次の操作を行って確認してみましょう。
2i x 3i = 6 xi 2 = 6 x（√（-1））2 = 6 x（-1）= -6。
ご覧のとおり、-6は実数ですが、2つの純粋な虚数を乗算することで得られています。
別の想像上の実数の積
実数にiを掛けると、結果は虚数になり、これは90度の反時計回りの回転に対応します。
そして、i 2は、90度の2つの連続した回転に対応します。これは、-1を掛けることに相当します。つまり、i 2 = -1です。次の図で確認できます。
図2.虚数単位iによる乗算は、90度の反時計回りの回転に対応します。出典：ウィキメディア・コモンズ。
例えば：
-3 x 5i = -15i
-3 xi = -3i。
想像上の力
虚数の整数指数への増強を定義できます。
i 1 = i
i 2 = ixi =√（-1）x√（-1）= -1
i 3 = ixi 2 = -i
i 4 = i 2 xi 2 = -1 x -1 = 1
i 5 = ixi 4 = i
一般に、i n = i ^（n mod 4）となります。modは、nと4の間の除算の残りです。
負の整数の増強も行うことができます：
i -1 = 1 / i 1 = i /（ixi 1）= i /（i 2）= i /（-1）= -i
i- 2 = 1 / i 2 = 1 /（-1）= -1
i- 3 = 1 / i 3 = 1 /（-i）=（-1）/ i = -1 xi -1 =（-1）x（-i）= i
一般に、虚数b⋅iをn乗すると、次のようになります。
（b⋅i）i n = b n i n = b n i ^（n mod 4）
次にいくつかの例を示します。
（5 i）12 = 5 12 i 12 = 5 12 i 0 = 5 12 x 1 = 244140625
（5 i）11 = 5 11 i 11 = 5 11 i 3 = 5 11 x（-i）= -48828125 i
（-2 i）10 = -2 10 i 10 = 2 10 i 2 = 1024 x（-1）= -1024
実数と虚数の合計
実数と虚数を加算すると、結果は実数でも虚数でもない、複素数と呼ばれる新しいタイプの数値になります。
たとえば、X = 3.5およびY = 3.75iの場合、結果は複素数になります。
Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i
合計では、実数部と虚数部を一緒にグループ化できないため、複素数には常に実数部と虚数部があることに注意してください。
この演算は、実数のセットを最も広い複素数に拡張します。
用途
虚数の名前は、フランスの数学者ルネデカルト（1596-1650）によって、世紀のイタリアの数学者ラファエルボンベリによってなされたものの提案に対する嘲笑または不一致として提案されました。
オイラーやライプニッツのような他の偉大な数学者たちは、この意見の相違でデカルトを支持し、架空の数を水陸両用数と呼びました。
虚数の名前は現在も残っていますが、次のような物理学の多くの分野で自然に現れるため、それらの存在と重要性は非常に現実的で明白です。
-相対性理論。
-電磁気で。
-量子力学。
虚数のエクササイズ
-演習1
次の方程式の解を求めます。
z 2 + 16 = 0
解決
z 2 = -16
私たちが持っている両方のメンバーの平方根をとります：
√（z 2）=√（-16）
±z =√（-1 x 16）=√（-1）√（16）= ix 4 = 4i
つまり、元の方程式の解は次のとおりです。
z = + 4i oz = -4i。
-演習2
虚数単位を5で累乗した結果から、-5で累乗した虚数単位を引いた結果を求めます。
解決
私は5 - I- 5は、 = iが5 - 1 / iが5 = iが- （I）/（IXI）= I - - I /（ - 1）= I + I = 2I 1 / IはI =
-演習3
次の操作の結果を見つけます。
（3i）3 + 9i
解決
3 3 I 3 - 9 = 9（-i）+ 9.0 = -9i + 9.0 = 0I
-演習4
次の2次方程式の解を求めます。
（-2x）2 + 2 = 0
解決
方程式は次のように整理されます。
（-2x）2 = -2
次に、両方のメンバーの平方根がとられます
√（（-2x）2）=√（-2）
±（-2x）=√（-1 x 2）=√（-1）√（2）= i√（2）=√2i
次に、xを解いて最終的に取得します。
x =±√2/ 2 i
つまり、考えられる解決策は2つあります。
x =（√2/ 2）i
またはこの他：
x =-（√2/ 2）i
-演習5
以下によって定義されるZの値を見つけます。
Z =√（-9）√（-4）+ 7
解決
負の実数の平方根は虚数であることはわかっています。たとえば、√（-9）は√（9）x√（-1）= 3iと等しくなります。
一方、√（-4）は√（4）x√（-1）= 2iに等しくなります。
したがって、元の方程式は次のように置き換えることができます。
3I X 2I - 7 = 6、I 2 - 7 = 6（-1） - 7 = -6 - 7 = -13
-演習6
次の2つの複素数の除算から得られるZの値を求めます。
Z =（9-i 2）/（3 + i）
解決
式の分子は、次のプロパティを使用して因数分解できます。
そう：
Z = /（3 + i）
結果の式は以下に簡略化され、
Z =（3-i）
参考文献
- アール、R。複素数。リカバリー元：maths.ox.ac.uk。
- フィゲラ、J。2000。数学1位。多様化。CO-BOエディション。
- ホフマン、J。2005。数学のトピックの選択。モンフォート出版物。
- ヒメネス、R。2008。代数。プレンティスホール。
- ウィキペディア。虚数。から回復：en.wikipedia.org