無理数はしたがって、ことはできませんその発現反復パターンなし無限小数の数値を有するものであることが得られるから任意の二つの整数間の比。
最もよく知られている無理数には次のものがあります。
図1.上から順に、次の無理数：pi、オイラー数、黄金比、2つの平方根。出典：Pixabay。
その中でも間違いなくπ（パイ）が一番身近ですが、もっとたくさんあります。それらはすべて、実数のセットに属しています。これは、有理数と無理数をグループ化した数値セットです。
図1の省略記号は、小数部が無期限に続くことを示しています。通常の計算機のスペースでは、数個しか表示できないためです。
注意深く見ると、2つの整数の間の商を作成するたびに、数字が制限された10進数、またはそうでない場合は、1つ以上が繰り返される無限の数字が得られます。まあ、これは無理数では起こりません。
無理数の歴史
紀元前582年、ギリシャのサモス島で生まれた偉大な古代数学者ピタゴラスは、ピタゴラス思想学校を設立し、彼の名を冠する有名な定理を発見しました。ここ左側にあります（バビロニア人はずっと前にそれを知っていたかもしれません）。
図2.辺が1の三角形に適用されたピタゴラスの定理。出典：Pixabay /ウィキメディア・コモンズ。
まあ、ピタゴラス（またはおそらく彼の弟子）が定理を辺が1の直角三角形に適用したとき、彼は無理数√2を見つけました。
彼はそれをこのようにしました：
C =√1 2 + 1 2 =√1+ 1 =√2
そして彼はすぐに、この新しい数が当時知られているものであった他の2つの自然数の間の商に由来するものではないことに気付きました。
したがって、彼はそれを不合理と呼び、発見はピタゴラス人の間で大きな不安と当惑を引き起こしました。
無理数の性質
-すべての非合理的な数字のセットは、文字Iで示され、Q *またはQ Cとして示されることもあります。無理数IまたはQ *と有理数Qの和集合は、実数Rの集合を生み出します。
-無理数を使用すると、加算、減算、乗算、除算、エンパワーメントなど、既知の算術演算を実行できます。
-0による除算は、無理数の間でも定義されません。
-無理数間の合計と積は、必ずしも別の無理数ではありません。例えば：
√2x√8=√16= 4
そして4は無理数ではありません。
-しかし、有理数と無理数の合計は、無理な結果を与えます。この方法では：
1 +√2= 2.41421356237…
-0と異なる有理数と無理数の積も無理数です。この例を見てみましょう：
2 x√2= 2.828427125…
-無理数の逆は、別の無理数になります。いくつか試してみましょう：
1 /√2= 0.707106781…
1 /√3= 0.577350269…
これらの数値は、既知の角度の一部の三角比の値でもあるため、興味深いものです。ほとんどの三角比は無理数ですが、sin30º= 0.5 =½などの例外があり、これは合理的です。
まとめると、可換性と結合性が満たされます。aとbが2つの無理数の場合、これは次のことを意味します。
a + b = b + a。
cが別の無理数である場合、次のようになります。
（a + b）+ c = a +（b + c）。
-加算に関する乗算の分布特性は、無理数にも当てはまるもう1つのよく知られた特性です。この場合：
a。（b + c）= ab + ac
-不合理なaはその逆です。それらが一緒に追加されると、結果は0になります。
a +（-a）= 0
-2つの異なる有理数の間には、少なくとも1つの無理数があります。
実線上の無理数の位置
実線は実数が位置する水平線であり、その無理数は重要な部分です。
幾何学的な形で実線上の無理数を見つけるには、ピタゴラスの定理、定規、コンパスを使用できます。
例として、実線上に√5を配置し、図に示すように、側面x = 2およびy = 1の直角三角形を描画します。
図3.実際の行で無理数を見つける方法。出典：F. Zapata。
ピタゴラスの定理により、このような三角形の斜辺は次のようになります。
C =√2 2 + 1 2 =√4+ 1 =√5
これで、コンパスは0にポイントを置いて配置され、直角三角形の頂点の1つもそこにあります。コンパス鉛筆の先端は頂点Aにあるはずです。
円周の弧が描かれ、実際の線に切り取られます。円周の中心とその上の任意の点との間の距離は半径であるため、これは√5に等しいので、交点も中心から√5離れています。
グラフから、√5は2から2.5の間であることがわかります。電卓は私たちにおよその値を与えます：
√5= 2.236068
したがって、適切な辺を持つ三角形を作成することにより、√7などの他の非合理的なものを見つけることができます。
無理数の分類
無理数は2つのグループに分類されます。
-代数
-超越的または超越的
代数的数
代数的数は、不合理かもしれないし、そうでないかもしれませんが、一般的な形が次のような多項式の解です：
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…。+ a 1 x + a o = 0
多項式の例としては、次のような2次方程式があります。
X 3 - 2X = 0
無理数√2がこの方程式の解の1つであることを示すのは簡単です。
超越数
一方、超越数は無理ではありますが、多項式の解としては決して発生しません。
応用数学で最も頻繁に見つかる超越数は、円周との関係および数e、または自然対数の底であるオイラー数のため、πです。
運動
灰色の正方形は、図に示されている位置の黒い正方形の上に配置されます。黒い四角の面積は64cm 2であることが知られています。両方の正方形の長さはどれくらいですか？
図4. 2つの正方形のうち、辺の長さを求めたい正方形。出典：F. Zapata。
応答
辺がLの正方形の面積は次のとおりです：
A = L 2
黒い正方形の面積は64 cm 2であるため、その一辺は8 cmでなければなりません。
この測定値は、灰色の正方形の対角線と同じです。この対角線にピタゴラスの定理を適用し、正方形の辺の大きさが同じであることを思い出すと、次のようになります。
8 2 = L g 2 + L g 2
ここで、L gは灰色の正方形の辺です。
したがって、2L g 2 = 8 2
等号の両側に平方根を適用する：
L g =（8 /√2）cm
参考文献
- ケアナ、M。2019。大学入学前数学マニュアル。リトラル国立大学。
- フィゲラ、J。2000。数学9日。程度。CO-BOエディション。
- ヒメネス、R。2008。代数。プレンティスホール。
- 教育ポータル。無理数とその性質。回復元：portaleducativo.net。
- ウィキペディア。無理数。回復元：es.wikipedia.org。