自然数：履歴、プロパティ、操作、例 - 数学 - 2025

自然数は、特定の集合の要素の数をカウントするのに役立つものです。たとえば、自然数は、箱に入っているリンゴの数を調べるために使用されるものです。それらは、セットの要素を並べ替えるためにも使用されます。

最初のケースでは基数について話し、2番目の序数では実際には「1番目」と「2番目」は序数の自然数です。逆に、1、2、3は基本自然数です。

図1.自然数は、カウントと順序付けに使用される数です。出典：Pixabay。

自然数は、カウントと順序付けに使用されるだけでなく、特定のセットの要素を識別および区別する方法としても使用されます。

たとえば、IDカードには一意の番号があり、特定の国に属する各人に割り当てられています。

数学表記では、自然数のセットは次のように表されます。

ℕ = { 1、2、3、4、5、………}

そして、ゼロを持つ自然数のセットは、この別の方法で示されます：

ℕ ⁺ = {0、1、2、3、4、5、………}

どちらのセットでも、楕円は要素が無限に連続していることを示しています。無限という言葉は、セットに終わりがないという言い方です。

自然数がいくら大きくても、常に次の最大値を取得できます。

歴史

自然数、つまり、特定の量を表す記号と名前のセットが現れる前に、最初の人間は別の比較セット、たとえば手の指を使用しました。

したがって、マンモス5頭の群れを見つけたと言うために、彼らは片手の指を使ってその数を象徴しました。

このシステムは人のグループごとに異なる可能性があり、おそらく指の代わりに棒、石、ネックレスのビーズ、またはロープの結び目のグループが使用されます。しかし、最も安全なのは指を使ったということです。

その後、一定の量を表す記号が表示され始めました。最初は骨や棒の跡でした。

数字のシンボルを表し、紀元前400年にさかのぼる粘土パネルの楔形彫刻は、現在イラクの国であるメソポタミアで知られています。

シンボルは進化していたので、ギリシャ人とその後のローマ人は数字を表すために文字を使用しました。

アラビア数字

アラビア数字は、私たちが今日使用しているシステムで、イベリア半島を占領したアラブ人によってヨーロッパに持ち込まれましたが、実際にはインドで発明されたため、インドアラビア数字システムとして知られています。

10本の指があるため、私たちの番号付けシステムは10に基づいています。

数値を表す10個の記号があり、手の指ごとに1つの記号です。

これらの記号は次のとおりです。

これらのシンボルを使用すると、位置システムを使用して任意の数量を表すことができます。10は10のゼロ単位、13は10と3の単位、22は2十2の単位です。

シンボルと番号付けシステムを超えて、自然数は常に存在し、常に何らかの方法で人間によって使用されていたことが明確にされなければなりません。

自然数の性質

自然数のセットは次のとおりです。

ℕ + = {0、1、2、3、4、5、………}

また、それらを使用して、別のセットの要素の数を数えたり、各要素に自然数が割り当てられている場合は、これらの要素を順序付けたりすることもできます。

無限で数えられる

自然数のセットは、無限の要素を持つ順序付けられたセットです。

ただし、ある数値と別の数値との間に存在する要素または自然数の数を知ることができるという意味では、これはカウント可能なセットです。

たとえば、5と9の間には、5と9を含む5つの要素があることがわかります。

きちんとしたセットです

順序付けされたセットであるため、特定の番号の前後の番号を知ることができます。このようにして、ナチュラルセットの2つの要素間で、次のような比較関係を確立できます。

7> 3は、7が3より大きいことを意味します

2 <11は2が11未満

それらは一緒にグループ化できます（追加操作）

3 + 2 = 5は、3つの要素を2つの要素と結合すると、5つの要素があることを意味します。記号+は加算演算を示します。

自然数による演算

-合計

1.- 追加は内部演算です。つまり、自然数のセットofの2つの要素が追加されると、そのセットに属する別の要素が取得されます。象徴的には次のようになります。

2.-自然の和演算は可換です。つまり、加数が反転されても結果は同じです。象徴的には次のように表現されます：

εならℕ及びεB ℕ、次いで+ B = B + A = C、Cε ℕ

たとえば、3 + 5 = 8および5 + 3 = 8で、8は自然数の要素です。

3.-自然数の合計は、連想特性を満たします。

a + b + c = a +（b + c）=（a + b）+ c

例はそれをより明確にします。次のように追加できます。

3 + 6 + 8 = 3 +（6 + 8）= 3 + 14 = 17

そしてこのように：

3 + 6 + 8 =（3 + 6）+ 8 = 9 + 8 = 17

最後に、この方法で追加すると、同じ結果が得られます。

3 + 6 + 8 =（3 + 8）+ 6 = 11 + 6 = 17

4.-和の中立要素があり、この要素はゼロです：a + 0 = 0 + a = a。例えば：

7 + 0 = 0 + 7 = 7。

-減算

-減算演算子は記号-で示されます。例えば：

5-3 = 2。

最初のオペランドが2番目のオペランド以上（≥）であることが重要です。それ以外の場合、減算演算は自然では定義されません。

a-b = c、ただしa≥bの場合のみc cℕ

-乗算

-乗算は、それ自体にb回加算する手段によってa aで示されます。例：6⋅4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24。

-部門

除算は次のように表されます。a÷は、aのbの回数を意味します。たとえば、2は6に3回含まれているため（3）、6÷2 = 3となります。

例

図2.自然数により、箱にあるリンゴの数を数えることができます。ソース：pixabay

-例1

1つのボックスでは15個のリンゴがカウントされ、別のボックスでは22個のリンゴがカウントされます。2番目のボックスのすべてのリンゴが最初のボックスに配置されている場合、最初のボックスには何個のリンゴがありますか？

応答

15 + 22 = 37リンゴ。

-例2

37個のリンゴの箱に5個を取り出した場合、箱には何個残りますか？

応答

37-5 = 32リンゴ。

-例3

それぞれ32個のリンゴが入った箱が5つある場合、全部でリンゴはいくつあるでしょうか。

応答

操作は、32をそれ自体で5倍することです。

32⋅5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

-例4

32個のリンゴの箱を4つの部分に分割するとします。各パーツにはいくつのリンゴが含まれますか？

応答

操作は、次のように示される除算です。

32÷4 = 8

つまり、それぞれ8つのリンゴのグループが4つあります。

参考文献

1. 小学校の5年生の自然数のセット。回収元​​：activitieseducativas.net
2. 子供のための数学。自然数。回収元​​：elhuevodechocolate.com
3. マーサ。自然数。回収元​​：superprof.es
4. 教師。自然数。回収元​​：unprofesor.com
5. ウィキペディア。自然数。回復元：wikipedia.com