双曲放物面は、その一般式デカルト座標（X、Y、Z）を満たす次式の表面です。
（x / a）2-（y / b）2 -z = 0。
「放物面」という名前は、変数zが変数xとyの二乗に依存するという事実に由来しています。形容詞「双曲線」は、zの固定値で双曲線の方程式を持っているという事実によるものです。この表面の形状は馬の鞍の形状に似ています。
図1.双曲線放物面z = x 2 -y 2。出典：Wolfram Mathematicaを使用したF. Zapata
双曲線放物面の説明
双曲線放物面の性質を理解するために、次の分析を行います。
1.-特定の場合a = 1、b = 1、つまり放物面のデカルト方程式はz = x 2 -y 2のままです。
2.-平面はZX平面に平行、つまりy = ctteと見なされます。
3.- y = ctteの場合、z = x 2 -Cのままです。これは、上向きのブランチとXY平面の下の頂点を持つ放物線を表します。
図2.曲線のファミリーz = x 2 -C.出典：Geogebraを使用したF. Zapata。
4.- x = ctteの場合、z = C-y 2のままです。これは、ブランチが下で、頂点がXY平面の上にある放物線を表します。
図3.曲線のファミリーz = C-y 2。出典：F. ZapataからGeogebraまで。
5.- z = ctteの場合、C = x 2 -y 2のままです。これは、XY平面に平行な平面の双曲線を表します。C = 0の場合、XY平面上の原点で交差する2本の線（X軸に対して+ 45度と-45度）があります。
図4.曲線のファミリーx 2 -y 2 = C.出典：F. Geogebraを使用したZapata ..
双曲線放物面の特性
1.- 3次元空間の4つの異なる点は、1つだけの双曲線放物面を定義します。
2.-双曲線放物面は、二重に支配された表面です。これは、曲面であっても、完全に双曲線放物面に属する双曲線放物面の各点を2つの異なる線が通過することを意味します。平面ではなく、二重に支配されているもう1つの面は、回転の双曲面です。
表面は直線の梁またはストリングから生成できるため、建築での幅広い使用を可能にしたのは、まさに双曲線放物面の2番目の特性です。
双曲線放物面の2番目の特性は、それを別の方法で定義することを可能にします。これは、固定平面に平行に移動する直線によって生成される表面であり、ガイドとして機能する2つの固定線を切断します。次の図は、双曲線放物面のこの別の定義を示しています。
図5.双曲線放物面は、二重に支配された表面です。出典：F. Zapata。
実施例
-例1
次の方程式を示します：z = xy、双曲線放物面に対応します。
解決
+ 45度のZ軸に対するデカルト軸の回転に対応するxおよびy変数に変換が適用されます。古いx座標とy座標は、次の関係に従って新しいxとyに変換されます。
x = x '-y'
y = x '+ y'
一方、z座標は同じです。つまり、z = z 'です。
方程式z = xyを代入すると、次のようになります。
z '=（x'-y '）（x' + y '）
平方の差に等しい合計による差の注目すべき積を適用することにより、次のようになります。
z '= x' 2 -y ' 2
これは明らかに、双曲線放物面の最初に与えられた定義に対応しています。
双曲線放物面z = xyを使用したXY軸に平行な平面の遮断により、平面x = 0およびy = 0を漸近線として持つ等辺双曲線が決定されます。
-例2
点A（0、0、0）を通過する双曲線放物面のパラメーターaとbを決定します。B（1、1、5 / 9）; C（-2、1、32 / 9）およびD（2、-1、32 / 9）。
解決
その特性によると、3次元空間の4つの点が単一の双曲線放物面を決定します。一般的な方程式は次のとおりです。
z =（x / a）2-（y / b）2
与えられた値を代入します：
ポイントAには、0 =（0 / a）2-（0 / b）2があります。これは、パラメーターaとbの値が何であっても満たされる方程式です。
ポイントBを代入すると、次のようになります。
5/9 = 1 / a 2-1 / b 2
ポイントCの場合は残りますが、
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
最後に、ポイントDについて、次を取得します。
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
これは前の方程式と同じです。最終的に、方程式系は解かれる必要があります。
5/9 = 1 / a 2-1 / b 2
32/9 = 4 / a 2-1 / b 2
最初の方程式から2番目の方程式を引くと、次のようになります。
27/9 = 3 / a 2は、a 2 = 1であることを意味します。
同様に、2番目の方程式は最初の方程式の4倍から差し引かれ、次のようになります。
（32-20）/ 9 = 4/ 2 - 4/ 2 -1 / B 2 + 4 / B 2
これは次のように簡略化されます：
12/9 = 3 / B 2 ⇒B 2 = 9/4。
つまり、指定された点A、B、C、Dを通過する双曲線放物面は、次の式で与えられるデカルト方程式を持っています。
z = x 2-（4/9）y 2
-例3
双曲線放物面の特性によれば、完全に含まれる各点を2本の線が通過します。z = x ^ 2-y ^ 2の場合、点P（0、1、-1）を通過する2本の直線の方程式が双曲線放物面に明確に属しているため、これらの直線のすべての点も同じ。
解決
二乗差の驚くべき積を使用して、双曲線放物面の方程式は次のように書くことができます。
（x + y）（x-y）= cz（1 / c）
ここで、cはゼロ以外の定数です。
方程式x + y = cz、および方程式x-y = 1 / cは、法線ベクトルn = <1,1、-c>およびm = <1、-1,0>の2つの平面に対応します。ベクトル積mxn = <-c、-c、-2>は、2つの平面の交線の方向を示します。次に、点Pを通過し、双曲線放物面に属する線の1つにパラメトリック方程式があります。
cを決定するために、方程式x + y = czに点Pを代入して、以下を取得します。
c = -1
同様の方法ですが、方程式（x-y = kz）および（x + y = 1 / k）を考慮すると、直線のパラメトリック方程式が得られます。
要約すると、次の2行です。
それらは、点（0、1、-1）を通過する双曲線放物面z = x 2 -y 2に完全に含まれています。
チェックとして、最初の行のポイント（1,2、-3）を与えるt = 1と仮定します。放物面z = x 2 -y 2上にもあるかどうかを確認する必要があります。
-3 = 1 2 - 2 2 = 1 - 4 = -3
これは確かに双曲線放物面の表面に属していることを確認します。
建築における双曲線放物面
図6.バレンシアの海洋学（スペイン）出典：ウィキメディア・コモンズ。
双曲線放物面は、偉大な前衛建築家によって建築で使用されてきました。その中で、スペインの建築家アントニガウディ（1852-1926）の名前、特にスペインのフェリックスカンデラ（1910-1997）の名前が際立っています。
以下は、双曲線放物面に基づくいくつかの作品です。
-建築家フェリックスカンデラのクエルナバカ（メキシコ）市のチャペル。
-バレンシアの海洋学（スペイン）、同じくフェリックスカンデラによる。
参考文献
- 数学の百科事典。ルールドサーフェス。から回復：encyclopediaofmath.org
- リラ・ルベン。双曲線放物面。から回復：rubenllera.wordpress.com
- Weisstein、Eric W.「双曲放物面」。MathWorldから– Wolfram Webリソース。回収元：mathworld.wolfram.com
- ウィキペディア。放物面。から回復：en.wikipedia.com
- ウィキペディア。放物面。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。ルールドサーフェス。から回復：en.wikipedia.com