平行六面体：特性、タイプ、面積、体積 - 数学 - 2025

直方体は、その面の全てが平行四辺形であること、またその反対の面が互いに平行であることである主な特徴その6つの面、から成っ幾何体です。靴箱、レンガの形、電子レンジの形など、日常生活でよく見られる多面体です。

多面体であるため、平行六面体は有限の体積を囲み、そのすべての面は平坦です。これは、すべての頂点が2つの平行な平面に含まれている多面体であるプリズムのグループの一部です。

平行六面体の要素

顔

それらは、平行六面体を制限する平行四辺形によって形成される各領域です。平行六面体には6つの面があり、各面には4つの隣接する面と1つの反対の面があります。また、各面はその反対側と平行です。

エッジ

2つの面の共通の側面です。全体として、平行六面体には12のエッジがあります。

バーテックス

これは、2つずつ隣接する3つの面の共通点です。平行六面体には8つの頂点があります。

対角線

平行六面体の2つの面が向かい合っている場合、1つの面の頂点からもう1つの面の反対の頂点に向かう線分を描くことができます。

このセグメントは、平行六面体の対角線として知られています。各平行六面体には4つの対角線があります。

センター

すべての対角線が交差する点です。

平行六面体の特徴

すでに述べたように、このジオメトリボディには12のエッジ、6つの面、8つの頂点があります。

平行六面体では、互いに平行な4つのエッジによって形成される3つのセットを識別できます。さらに、前記セットのエッジは、同じ長さを有するという特性も有する。

平行六面体が持つもう1つの特性は、それらが凸面であることです。つまり、平行六面体の内部に属する点のペアを1つとると、その点のペアによって決定されるセグメントも平行六面体の中にあります。

また、平行六面体が凸多面体であることは、多面体のオイラーの定理に準拠しているため、面の数、エッジの数、頂点の数の関係がわかります。この関係は、次の式の形で与えられます。

C + V = A + 2

この特性はオイラー特性として知られています。

ここで、Cは面の数、Vは頂点の数、Aはエッジの数です。

タイプ

平行六面体を顔に基づいて、次のタイプに分類できます。

正面体

それらは、それらの面が6つの長方形によって形成される平行六面体です。各長方形は、エッジを共有する長方形に垂直です。それらは私たちの日常生活の中で最も一般的であり、これは靴箱とレンガの通常の形です。

通常の立方体または六面体

これは、それぞれの面が正方形である前のケースの特定のケースです。

立方体は、プラトニックソリッドと呼ばれる幾何学的なボディの一部でもあります。プラトニックソリッドは凸多面体であるため、その面と内角の両方が互いに等しくなります。

菱面体

ひし形の顔をした平行六面体です。これらのひし形は、エッジを共有しているため、すべて同じです。

菱面体

その6つの顔は菱形です。菱形は4辺と2から2に等しい4つの角度を持つポリゴンであることを思い出してください。菱形は正方形でも長方形でも菱形でもない平行四辺形です。

一方、斜め平行六面体は、少なくとも1つの高さがエッジと一致しないものです。この分類には、rhombohedraとrhombohedraを含めることができます。

対角計算

正面体の対角線を計算するには、R ^3のピタゴラスの定理を使用できます。

正四面体には、各辺がエッジを共有する辺に垂直であるという特性があることを思い出してください。この事実から、各エッジが頂点を共有するエッジに垂直であると推定できます。

正面体の対角線の長さを計算するには、次のようにします。

1.基準とする面の1つの対角線を計算します。これには、ピタゴラスの定理を使用します。この対角線をd _bと名付けましょう。

2.次に、d _bを使用して、新しい直角三角形を形成できます。この三角形の斜辺は、探している対角線Dです。

3.ピタゴラスの定理を再度使用すると、この対角線の長さは次のようになります。

よりグラフィックな方法で対角線を計算するもう1つの方法は、無料ベクトルを追加することです。

ベクトルAの先端にベクトルBの尾を配置することにより、2つの自由ベクトルAとBが追加されることを思い出してください。

ベクトル（A + B）は、Aの末尾で始まり、Bの先端で終わるベクトルです。

対角線を計算したい直方体を考えてみましょう。

便利な向きのベクトルでエッジを識別します。

次に、これらのベクトルを追加すると、結果のベクトルは平行六面体の対角になります。

範囲

平行六面体の面積は、その顔の各面積の合計によって与えられます。

どちらかの辺をベースにすると、

A _L + 2A _B =総面積

Aここで_Lは、横領域と呼ばれるベースに隣接する全ての側面の面積の合計、に等しく、A _Bは塩基の領域です。

使用する平行六面体のタイプに応じて、この式を書き直すことができます。

正四面体の領域

それは式で与えられます

A = 2（ab + bc + ca）。

例1

辺a = 6 cm、b = 8 cm、c = 10 cmの次の正四面体が与えられた場合、平行六面体の面積とその対角線の長さを計算します。

正四面体の面積の式を使用すると、

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ²。

正四面体なので、4つの対角線の長さはすべて同じであることに注意してください。

スペースにピタゴラスの定理を使用すると、

D =（6 ² + 8 ² + 10 ²）^1/2 =（36 + 64 + 100）^1/2 =（200）^1/2

立方体の面積

各エッジは同じ長さなので、a = bおよびa = cになります。前の式を代入すると、

A = 2（aa + aa + aa）= 2（3a ²）= 6a ²

A = 6a ²

例2

ゲーム機の箱は立方体のような形をしています。この箱を包装紙で包む場合、立方体の端の長さが45 cmであることを知るためにどれだけの紙を使いますか。

取得した立方体の面積の式を使用して、

A = 6（45 cm）² = 6（2025 cm ²）= 12150 cm ²

菱面体の面積

彼らの顔はすべて同じなので、そのうちの1つの面積を計算し、6倍します。

菱形の面積は、次の式で対角線から計算できることがわかりました

A _R =（Dd）/ 2

この式を使用すると、菱面体の総面積は

A _T = 6（Dd）/ 2 = 3Dd。

例3

次の菱面体の面は、対角線がD = 7 cmおよびd = 4 cmの菱形で形成されています。あなたの地域は

A = 3（7cm）（4cm）= 84cm ²。

菱面体の面積

菱面体の面積を計算するには、それを構成する菱形の面積を計算する必要があります。平行六面体は、反対側の面積が同じであるという特性を満たしているため、3つのペアで側面を関連付けることができます。

このようにして、あなたの地域は

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

ここで、b _iは辺に関連付けられたベースであり、h _iはこれらのベースに対応する相対的な高さです。

実施例4

次の平行六面体を考えてください。

ここで、辺Aと辺A '（その反対側）の底はb = 10、高さはh = 6です。マークされた領域の値は

A ₁ = 2（10）（6）= 120

BとB 'にはb = 4とh = 6があるため、

A ₂ = 2（4）（6）= 48

YCとC 'にはb = 10とh = 5があるため、

A ₃ = 2（10）（5）= 100

最後に、菱面体の領域は

A = 120 + 48 + 100 = 268。

平行六面体の体積

平行六面体の体積を計算する式は、その面の1つの面積とその面に対応する高さの積です。

V = A _C h _C

平行六面体のタイプに応じて、この式は簡略化できます。

したがって、たとえば、正面体の体積は次のように与えられます。

V = abc。

ここで、a、b、cは正四面体のエッジの長さを表します。

そして、キューブの特定のケースでは

V = a ³

例1

Cookieボックスには3つの異なるモデルがあり、これらのモデルのどれがより多くのCookieを保存できるか、つまりどのボックスが最大のボリュームを持っているかを知りたいです。

最初は、エッジの長さがa = 10 cmの立方体です。

その体積はV = 1000 cm ^{3になります}

2番目のエッジには、b = 17 cm、c = 5 cm、d = 9 cmのエッジがあります。

したがって、その体積はV = 765 cm ^3です。

そして、3番目はe = 9 cm、f = 9 cm、g = 13 cmです。

そしてその体積はV = 1053 cm ^3です。

したがって、ボリュームが最大のボックスが3番目になります。

平行六面体のボリュームを取得する別の方法は、ベクトル代数を使用することです。特に、トリプルドット積。

三重スカラー積が持つ幾何学的解釈の1つは、平行六面体の体積の解釈であり、そのエッジは、開始点と同じ頂点を共有する3つのベクトルです。

このように、平行六面体があり、その体積を知りたい場合は、頂点の1つを原点と一致^させること^により、それをR ^3の座標系で表すだけで十分です。

次に、図に示すように、原点で一致するエッジをベクトルで表します。

このようにして、上記の平行六面体の体積は、

V =-AxB∙C-

または、同等に、ボリュームは、エッジベクトルのコンポーネントによって形成される3×3行列の行列式です。

例2

R ^3で次の平行六面体を表すと、それを決定するベクトルは次のようになります。

u =（-1、-3,0）、v =（5、0、0）およびw =（-0.25、-4、4）

私たちが持っているトリプルスカラー積を使って

V =-（uxv）∙w-

uxv =（-1、-3,0）x（5、0、0）=（0,0、-15）

（uxv）∙w =（0,0、-15）∙（-0.25、-4、4）= 0 + 0 + 4（-15）=-60

このことから、V = 60であると結論付けます。

次に、R3の次の平行六面体について考えます。R3のエッジはベクトルによって決定されます。

A =（2、5、0）、B =（6、1、0）およびC =（3、4、4）

行列式を使用すると、

したがって、上記の平行六面体の体積は112です。

どちらもボリュームを計算する同等の方法です。

完璧な平行六面体

正面体はオイラーブリック（またはオイラーのブロック）として知られており、そのエッジの長さと各面の対角線の長さの両方が整数であるという特性を満たします。

オイラーはこの性質を満たす正四面体を研究した最初の科学者ではありませんでしたが、彼はそれらについて興味深い結果を見つけました。

最小のオイラーレンガはPaul Halckeによって発見され、そのエッジの長さはa = 44、b = 117、c = 240です。

数論における未解決の問題は次のとおりです

完璧なオルトヘドラはありますか？

現時点では、このような団体が存在しないことを証明することはできませんが、どちらも見つかっていないため、この質問には答えていません。

これまでに示されていることは、完全な平行六面体が存在することです。最初に発見されたものは、そのエッジの長さが値103、106、および271です。

参考文献

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