乗法の原則は、その要素をリストアップすることなく、解決策を見つけるためにカウントの問題を解決するために使用される技術です。組み合わせ分析の基本原理としても知られています。これは、イベントの発生方法を決定するための連続的な乗算に基づいています。
この原則は、決定（d 1）をn通りの方法で行うことができ、別の決定（d 2）をm通りの方法で行うことができる場合、決定d 1とd 2を行うことができる方法の総数は等しくなることを述べています。 n * m から乗算します。原則に従って、各決定は次々に行われます。ウェイの数= N 1 * N 2 … * N xウェイ。
例
例1
ポーラは友人と映画を見に行き、彼女が着る服を選ぶつもりです。ブラウス3枚とスカート2枚を分けます。ポーラはどのように服を着ることができますか？
解決
この場合、ポーラは2つの決定を行う必要があります。
d 1 = 3ブラウスから選択= n
d 2 = 2つのスカートから選択= m
ポーラはn * mの決断をしたり、さまざまな服装をしたりします。
n * m = 3 * 2 = 6の決定。
乗法の原理は、可能なすべての結果を関連付けるダイアグラムであるツリーダイアグラムの手法から生まれたもので、それぞれが有限回数発生することができます。
例2
マリオはとても喉が渇いたので、ジュースを買うためにパン屋に行きました。ルイスは彼の面倒を見て、大小2つのサイズがあると言っています。4つのフレーバー：リンゴ、オレンジ、レモン、ブドウ。マリオがジュースを選ぶ方法はいくつありますか？
解決
図では、マリオがジュースを選択する方法が8つあり、乗算の原理と同様に、この結果はn * mを乗算することで得られることがわかります。唯一の違いは、この図を通して、マリオがジュースを選択する方法がどのように見えるかがわかることです。
一方、可能な結果の数が非常に多い場合は、乗法の原則を使用する方が現実的です。
カウント技術
カウント手法は、直接カウントを行うために使用される方法であり、したがって、特定のセットの要素が持つ可能性のある配置の数を知っています。これらの手法は、いくつかの原則に基づいています。
加算原理
この原則は、2つのイベントmとnが同時に発生できない場合、最初または2番目のイベントが発生する可能性のある方法の数は、m + nの合計になると述べています。
形状の数= m + n…+ x異なる形状。
例
アントニオは旅行に行きたいのですが、どの目的地に行くのか決めていません。サザンツーリズムエージェンシーでは、ニューヨークまたはラスベガスへの旅行のプロモーションを提供していますが、イースタンツーリズムエージェンシーでは、フランス、イタリア、スペインへの旅行を推奨しています。アントニオは何種類の旅行の選択肢を提供していますか？
解決
南部観光局では、アントニオには2つの選択肢（ニューヨークまたはラスベガス）がありますが、東部観光局では3つのオプション（フランス、イタリア、スペイン）があります。さまざまな選択肢の数は次のとおりです。
選択肢の数= m + n = 2 + 3 = 5つの選択肢。
順列原理
それは、要素で作成できるすべての可能な配置のカウントを容易にするために、セットを構成する要素のすべてまたは一部を具体的に順序付けることについてです。
一度に取得されるn個の異なる要素の順列の数は、次のように表されます。
n P n = n！
例
4人の友人が写真を撮りたいと思っており、それらをどのように配置できるかを知りたいと思っています。
解決
4人が写真を撮るために配置できるすべての可能な方法のセットを知りたいです。したがって、次のことを行う必要があります。
4 P 4 = 4！= 4 * 3 * 2 * 1 = 24の異なる形状。
n個の使用可能な要素の順列の数が、r個の要素で構成されるセットの一部によって取得される場合、次のように表されます。
n P r = n！÷（n-r）！
例
教室には10席があります。4人の生徒がクラスに参加する場合、生徒は何種類の方法でポジションを埋めることができますか？
解決
椅子のセットの総数は10であり、そのうちの4つだけが使用されます。順列の数を決定するには、次の数式が適用されます：
n P r = n！÷（n-r）！
10 P 4 = 10！÷（10-4）！
10 P 4 = 10！÷6！
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1÷6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040通りの方法で位置を埋めます。
セットの利用可能な要素の一部が繰り返される場合があります（同じです）。同時にすべての要素を取る配列の数を計算するには、次の式を使用します。
n P r = n！÷n 1！* n 2！…n r！
例
「オオカミ」という単語から、いくつの異なる4文字の単語を形成できますか？
解決
この場合、4つの要素（文字）があり、そのうち2つはまったく同じです。与えられた公式を適用すると、いくつの異なる単語が結果として生じるかが知られています：
n P r = n！÷n 1！* n 2！…n r！
4 P 2、1,1 = 4！÷2！* 1！* 1！
4 P 2、1、1 =（4 * 3 * 2 * 1）÷（2 * 1）* 1 * 1
4 P 2、1、1 = 24÷2 = 12の異なる単語。
組み合わせ原理
特定の順序なしでセットを構成する要素のすべてまたは一部を配置することです。たとえば、XYZ配置がある場合、それはとりわけZXY、YZX、ZYX配置と同じになります。これは、同じ順序でなくても、各配置の要素が同じであるためです。
一部の要素（r）がセット（n）から取得される場合、組み合わせの原理は次の式で与えられます。
n C r = n！÷（n-r）！R！
例
店では、5種類のチョコレートを販売しています。4つのチョコレートを選択する方法はいくつありますか？
解決
この場合、店舗で販売している5種類のチョコレートから4種類のチョコレートを選択する必要があります。それらが選択される順序は重要ではなく、さらに、チョコレートのタイプは2回以上選択できます。式を適用するには、次のことを行う必要があります。
n C r = n！÷（n-r）！R！
5 C 4 = 5！÷（5-4）！4！
5 C 4 = 5！÷（1）！4！
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1÷4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120÷24 = 5つの異なる方法で4つのチョコレートを選択します。
セット（n）のすべての要素（r）をとると、組み合わせの原則は次の式で与えられます。
n C n = n！
解決された演習
演習1
14人のメンバーで構成される野球チームがあります。ゲームに5つのポジションを割り当てる方法はいくつありますか？
解決
セットは14の要素で構成されており、5つの特定の位置を割り当てたいとします。つまり、順序が重要です。順列式は、rで形成されるセットの一部によってn個の使用可能な要素が取得される場合に適用されます。
n P r = n！÷（n-r）！
ここで、n = 14およびr = 5です。これは次の式で置き換えられます。
14 P 5 = 14！÷（14-5）！
14 P 5 = 14！÷（9）！
14 P 5 = 240 9つのゲームポジションを割り当てる240の方法。
演習2
9人家族が旅行に行き、連続席でチケットを購入する場合、彼らはどのように多くの異なる方法で座ることができますか？
解決
連続で9席を占めるのは約9要素。
P 9 = 9！
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880種類の座り方。
参考文献
- ホプキンス、B。（2009）。離散数学を教えるためのリソース：教室プロジェクト、歴史モジュール、および記事。
- Johnsonbaugh、R.（2005）。離散数学。ピアソン教育、。
- Lutfiyya、LA（2012）。有限および離散数学問題ソルバー。Research&Education Associationの編集者。
- パドロ、FC（2001）。離散数学。ポリテック。カタルーニャの。
- シュタイナー、E（2005）。応用科学のための数学。元に戻す。