代数のロックプロパティは、セットの2つの要素を操作に関連付ける現象です。必要な条件は、2つの要素がその操作で処理された後、結果も初期セットに属することです。
たとえば、偶数をセットとして、合計を演算とすると、そのセットの合計に対するロックが得られます。これは、2つの偶数の合計が常に別の偶数を生成するため、ロック条件を満たすためです。
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特徴
構造やリングなど、代数空間やボディを決定する多くのプロパティがあります。ただし、ロックプロパティは、基本代数で最もよく知られているものの1つです。
これらの特性のすべてのアプリケーションが数値要素または現象に基づいているわけではありません。毎日の例の多くは、純粋な代数論的アプローチから作成できます。
例としては、商業的パートナーシップや結婚など、あらゆる種類の法的関係を引き受ける国の市民が挙げられます。この操作または管理が実行された後、彼らは国の市民のままです。このようにして、2人の市民に関する市民権と管理操作はロックを表します。
数値代数
数に関しては、数学と代数のさまざまな流れの中で研究されてきた多くの側面があります。これらの研究から、現代の研究と研究の理論的基礎として機能する多数の公理と定理が明らかになりました。
数値セットを操作する場合、ロックプロパティの別の有効な定義を確立できます。Aが、Bに含まれるすべてのセットと操作を含む最小のセットである場合、セットAは別のセットBのロックであるといいます。
デモンストレーション
ロック証明は、実数Rのセットに存在する要素と操作に適用されます。
AとBを集合Rに属する2つの数値とすると、これらの要素の閉包はRに含まれる各演算に対して定義されます。
和
-合計：∀A ˄ B∈R→A + B = C∈R
これは、実数に属するすべてのAとBについて、AとBの合計がCに等しく、Cも実数に属しているという代数的方法です。
この命題が真実かどうかは簡単に確認できます。任意の実数の合計を実行し、結果が実数にも属しているかどうかを確認するだけで十分です。
3 + 2 = 5∈R
-2 +（-7）= -9∈R
-3 + 1/3 = -8/3∈R
5/2 +（-2/3）= 11/6∈R
実数と合計でロック条件が満たされていることがわかります。このようにして結論付けることができます。実数の合計は代数的ロックです。
乗算
-乗算：∀A ˄ B∈R→A。B = C∈R
実数に属するすべてのAとBについて、AとBの乗算はCに等しく、これも実数に属しています。
前の例と同じ要素で検証すると、次の結果が観察されます。
3 x 2 = 6∈R
-2 x（-7）= 14∈R
-3 x 1/3 = -1∈R
5/2 x（-2/3）= -5/3∈R
これは、次のことを結論付けるのに十分な証拠です。実数の乗算は代数的ロックです。
この定義は、実数のすべての演算に拡張できますが、特定の例外があります。
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Rの特殊なケース
分割
最初の特殊なケースは除算で、次の例外が見られます：
∀A ˄ B∈R→A / B∉R↔B = 0
Rに属するすべてのAおよびBについて、Bがゼロに等しい場合に限り、BのAが実数に属さないことがわかります。
このケースは、ゼロで除算できないという制限を指します。ゼロは実数に属しているため、除算は実数のロックではありません。
ファイリング
増強操作、より具体的には過激化操作もあります。ここでは、偶数インデックスの急進的な力について例外が提示されます。
実数に属するすべてのAについて、Aのn番目のルートは、唯一の要素がゼロであるセットに結合された正の実数にAが属している場合に限り、実数に属します。
このように、偶数の根は正の実数にのみ適用されることが示され、増強はRのロックではないと結論付けられます。
対数
同様に、ゼロ以下の値に対して定義されていない対数関数で見ることができます。対数がRのロックであるかどうかを確認するには、次の手順に従います。
Aが正の実数に属している場合に限り、実数に属するすべてのAについて、Aの対数は実数に属します。
Rにも属する負の値とゼロを除外することで、次のように述べることができます。
対数は実数の束ではありません。
例
自然数の加算と減算についてロックを確認します。
Nの合計
最初に、指定されたセットのさまざまな要素のロック条件を確認します。条件によって要素が壊れていることが確認された場合、ロックの存在を自動的に拒否できます。
このプロパティは、次の操作でわかるように、AおよびBのすべての可能な値に当てはまります。
1 + 3 = 4∈N
5 + 7 = 12∈N
1000 + 10000 = 11000∈N
ロック状態を解除する自然な値はないため、結論付けられます。
合計はNのロックです。
Nで減算
状態を壊すことができる自然の要素が求められています。A-Bは原住民に属します。
操作すると、ロック条件を満たさない自然要素のペアを簡単に見つけることができます。例えば：
7-10 = -3∉a N
このようにして、次のことを結論付けることができます。
減算は、自然数のセットに対するロックではありません。
提案された演習
1-加算、減算、乗算、除算の演算について、有理数Qのセットに対してロックプロパティが満たされているかどうかを示します。
2-実数のセットが整数のセットのロックであるかどうかを説明します。
3-どの数値セットが実数のロックになるかを決定します。
4-加算、減算、乗算、および除算に関して、虚数のセットのロックのプロパティを証明します。
参考文献
- 純粋な数学のパノラマ：ブルバキストの選択。ジャン・デュドネ。Reverte、1987年。
- 代数的数論。アレハンドロJ.ディアスバリガ、アナイレーネラミレス、フランシスコトマス。メキシコ国立自治大学、1975年。
- 線形代数とその応用。サンドラ・イベス・オチョア・ガルシア、エドゥアルド・グティエレス・ゴンサレス。
- 代数的構造V：ボディ理論。ヘクター・A・メルクレン。アメリカ州の組織、事務局、1979年。
- 可換代数の紹介。マイケルフランシスアティヤ、IGマクドナルド。Reverte、1973。