どのような種類の積分がありますか？ - 数学

微積分で見つけられる積分のタイプは、不定積分と定積分です。定積分には、不定積分よりも多くのアプリケーションがありますが、最初に不定積分を解く方法を学ぶ必要があります。

定積分の最も魅力的なアプリケーションの1つは、回転固体の体積の計算です。どちらのタイプの積分も同じ線形性の特性を持ち、積分手法は積分のタイプに依存しません。

革命の固体

しかし、非常に似ていますが、主な違いが1つあります。最初のタイプの積分では結果は関数（特定ではありません）ですが、2番目のタイプでは結果は数値です。

積分の基本的なタイプ

積分の世界は非常に広範ですが、その中で、日常生活に非常に適用できる2つの基本的な積分タイプを区別できます。

fの領域内のすべてのxについてF '（x）= f（x）の場合、F（x）は反微分、プリミティブ、またはf（x）の積分であると言います。

一方、（F（x）+ C） '= F'（x）= f（x）であることを観察します。これは、定数Cに異なる値を与えると異なる値が得られるため、関数の積分が一意ではないことを意味します抗誘導体。

このため、F（x）+ Cはf（x）の不定積分と呼ばれ、Cは積分定数と呼ばれ、次のように記述します。

不定積分

ご覧のとおり、関数f（x）の不定積分は関数のファミリーです。

たとえば、関数f（x）=3x²の不定積分を求める場合、最初にf（x）の逆導関数を見つける必要があります。

F '（x）=3x²であるため、F（x）=x³は反微分であることが簡単にわかります。したがって、

∫f（x）dx =∫3x²dx=x³+C。

y = f（x）を閉区間での実際の連続関数とし、F（x）をf（x）の逆導関数とします。制限aとbの間のf（x）の定積分は、数F（b）-F（a）と呼ばれ、次のように表されます。

微積分の基本定理

上記の式は、「微積分の基本定理」としてよく知られています。ここでは「a」を下限、「b」を上限と呼びます。ご覧のとおり、関数の定積分は数値です。

この場合、区間内でf（x）=3x²の定積分が計算されると、数値が得られます。

この数を決定するには、f（x）=3x²の反微分としてF（x）=x³を選択します。次に、F（3）-F（0）を計算すると、27-0 = 27の結果が得られます。結論として、区間上のf（x）の定積分は27です。

G（x）=x³+ 3が選択された場合、G（x）はf（x）の反微分であり、F（x）とは異なりますが、G（3）-G（ 0）=（27 + 3）-（3）= 27。このため、定積分には積分定数は現れません。

このタイプの積分の最も有用なアプリケーションの1つは、（回転の固体の）平面図の面積（体積）を計算して、適切な関数と積分の制限（および回転軸）を確立できることです。

明確な積分の中には、線積分、面積分、不適切積分、多重積分など、さまざまな拡張があり、すべて科学および工学で非常に有用なアプリケーションに使用できます。

Casteleiro、JM（2012）。統合は簡単ですか？自習マニュアル。マドリード：ESIC。
Casteleiro、JM、およびGómez-Álvarez、RP（2002）。積分（図版編）。マドリード：ESIC社説。
Fleming、W.、&Varberg、DE（1989）。計算前の数学。プレンティスホールPTR。
Fleming、W.、&Varberg、DE（1989）。計算前の数学：問題解決アプローチ（2、Illustrated ed。）ミシガン州：プレンティスホール。
Kishan、H.（2005）。積分。大西洋の出版社およびディストリビューター。
Purcell、EJ、Varberg、D.&Rigdon、SE（2007）。微積分（第9版）。プレンティスホール。