2つの点AとAは、「線分AA」が通過するとき、点Oを中心に対称であり、これはAAの中点でもあります。ポイントOは対称中心と呼ばれます。
点Oに関する三角形ABCの中心対称は、次の特性を持つ別の三角形A'B'C 'です。
-相同セグメントの長さが等しい
-それらの対応する角度は同じ尺度です。
図1.三角形ABCとその対称A'B'C '。出典：F. Zapata。
図1は、対称中心Oを基準とした三角形ABC（赤）とその中心対称A'B'C '（緑）を示しています。
この同じ図では、注意深い観察者は、180度でOを中心とする限り、元の三角形の回転を適用しても同じ結果が得られることを理解します。
したがって、中心対称性は、対称性の中心に対して180度回転することに相当します。
中心対称の性質
中心対称には次の特性があります。
-対称の中心は、点とその対称を結ぶ線分の中点です。
-対称の中心にある別の対称点は、対称の中心と一致します。
-三角形の中心対称は、元の三角形と合同な三角形（等しい）です。
-円の中心対称性による画像は、同じ半径の別の円です。
-円周は、それ自体の中心に対して中心対称です。
図2.中心対称の設計。出典：Pixabay。
-楕円は、中心に対して対称である。
-セグメントは、その中点に関して中心対称性を持っています。
-正三角形は、その中心に対して中心対称性をもたない。対称性は最初の三角形に合同であるが、回転した正三角形を与えるからである。
-正方形は、それらの中心に関して中心対称性を持っています。
-五角形は、その中心に関して対称性が欠けています。
-正多角形は、辺の数が偶数のときに中心対称になります。
例
対称性の基準は、科学と工学に多くの用途があります。中心対称性は自然界に存在します。たとえば、氷の結晶やクモの巣はこの種の対称性を持っています。
さらに、中心対称性や他の種類の対称性の存在を利用すると、多くの問題が簡単に解決されます。したがって、それがいつ発生したかをすばやく特定すると便利です。
図3.氷の結晶には中心対称性があります。出典：Pixabay。
例1
座標（a、b）の点Pが与えられた場合、座標（0、0）の原点Oを基準にした対称P 'の座標を見つける必要があります。
最初に、原点Oと点Pを通る線が描かれる点P 'を作成します。この線の方程式はy =（b / a）xです。
次に、対称点P 'の座標を（a'、b '）と呼びます。ポイントPは、Oを通過する線上にある必要があり、したがって、それは真です：b '=（b / a）a'。さらに、距離OPはOP 'に等しくなければなりません。これは分析形式では次のように記述されます。
√（a 2 + b 2）=√（a ' 2 + b' 2）
以下は、前の式でb '=を代入し、等式の両側を平方して平方根を除去することです：（a 2 + b 2）=
共通因子を抽出して簡略化すると、a ' 2 = a 2になります。この方程式には2つの実際の解があります：a '= + aまたはa' = -a。
b 'を取得するには、再びb' =（b / a）a 'を使用します。aの正の解を代入すると、b = bになります。そして、負の解が代入されると、b '= -bになります。
正の解はP 'に同じ点Pを与えるため、破棄されます。負の解は間違いなく対称点の座標を与えます：
P '：（-a、-b）
例2
セグメントABとその中心対称A'B 'が同じ長さであることを示す必要があります。
（Ax、Ay）である点Aの座標と、点Bの座標（Bx、By）から始めて、セグメントABの長さは次のように与えられます。
d（AB）=√（（Bx-Ax）2 +（By-Ay）2）
同様に、対称セグメントA'B 'の長さは次のようになります。
d（A'B '）=√（（Bx'-Ax '）2 + （By' -Ay '）2）
対称点の座標A 'are Ax' = -AxおよびAy '= -Ay。同様に、Bのものは「Bxです」= -Bxおよび「= -By」です。これらの座標を距離d（A'B '）の方程式に代入すると、次のようになります。
d（A'B '）=√（（-Bx + Ax）2 +（-By + Ay）2）これは次と同等です：
√（（Bx-Ax）2 +（By-Ay）2）= d（AB）
したがって、両方のセグメントが同じ長さであることが示されています。
解決された演習
-演習1
半径Rの円と中心Oの中心対称Oが元の円と同じであることを分析的に示します。
解決
半径Rで中心O（0,0）の円の方程式は次のとおりです。
x 2 + y 2 = R 2（円周の式C）
座標（x、y）の円周yの各点Pで座標（x '、y'）の対称P 'が見つかると、対称円周の方程式は次のようになります。
x ' 2 + y' 2 = R 2（対称円の方程式C '）
ここで、例1の結果を参照します。この例では、Pに対称で座標（a、b）を持つ点P 'の座標は（-a、-b）であると結論付けられています。
しかし、この演習では、ポイントPは座標（x、y）を持っているので、対称P '座標はx' = -xe y '= -yになります。これを対称円の方程式に代入すると、次のようになります。
（-x）2 +（-y）2 = R 2
これは、x 2 + y 2 = R 2と同等であり、円の中心に関する円の中心対称は円自体であると結論付けます。
-演習2
中心の対称性が角度を維持することを幾何学的な形で示します。
解決
図4.演習2の対称点の作成。出典：F. Zapata。
平面には3つの点A、B、Cがあります。図4に示すように、その対称A '、B'、およびC 'は、対称中心Oに対して構築されます。
ここで、角度∡ABC=βが角度∡A'B'C '=β'と同じ尺度であることを示す必要があります。
CとCは対称なので、OC = OCです。同様に、OB = OBおよびOA = OAです。一方、角度byBOC =∡B'OCであるのは、それらが頂点に対向しているためです。
したがって、三角形BOCとB'OC 'は、2つの等しい辺の間の角度が等しいため合同です。
BOCはB'OCに合同であるため、角度γとγ 'は等しくなります。しかし、これらの角度は、γ=γ 'を満たすことに加えて、線BCとB'C'の間の内部交互です。これは、線BCがB'C 'に平行であることを意味します。
同様に、BOAはB'OAに合同であり、「α=α」となる。しかし、αとα 'は線BAとB'A'の間の交互の内角であり、線BAはB'A 'に平行であると結論されます。
角度∡ABC=βの辺は角度∡A'B'C '=β'と平行であり、どちらも鋭角であるため、次のように結論付けられます。
∡ABC=∡A'B'C '=β=β'
このようにして、中心の対称性が角度測定を維持することを証明します。
参考文献
- バルドール、JA1973。平面および宇宙のジオメトリ。中央アメリカの文化。
- 数学の法則と数式。角度測定システム。から回復：ingemecanica.com。
- Wentworth、G。Plane Geometry。回収元：gutenberg.org。
- ウィキペディア。中心対称性。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。コンベア。回復元：es.wikipedia.com
- Zapata F.共役内角と外角。回復：lifeder.com