オクタルシステムは、ベース8つの位置のナンバリングシステムです。つまり、0、1、2、3、4、5、6、7の8桁で構成されます。したがって、8進数の各桁は0〜7の任意の値を持つことができます。それらは2進数から形成されます。
これは、そのベースが正確に2の累乗であるためです。つまり、8進法に属する数値は、右から左に並べられた3つの連続する数字にグループ化されたときに形成され、10進数の値を取得します。
歴史
8進法の起源は古代、人々が手を使って動物を8匹から8匹に数えていました。
たとえば、厩舎内の牛の数を数えるために、親指を小指でつないだ右手で数え始めました。次に、2番目の動物を数えるために、親指を人差し指でつなぎ、残りの指を使って、8個になるまで続けました。
古代には、10進数の前に8進数システムを使用して、指間スペースをカウントできる可能性がありました。つまり、親指以外のすべての指を数えます。
その後、バイナリシステムを起源とする8進数システムが確立されました。これは、1つの数値を表すのに多くの桁が必要なためです。その後、8進数と6進数のシステムが作成されました。これはそれほど多くの桁数を必要とせず、簡単にバイナリシステムに変換できます。
8進数システム
8進法は、0から7までの8桁で構成されます。これらは、10進法の場合と同じ値ですが、それらの相対値は、それらが占める位置に応じて変化します。各ポジションの値は、底が8の累乗で与えられます。
8進数の桁の位置には、次の重みがあります。
8 4、8 3、8 2、8 1、8 0、進点、8 -1、8 -2、8 -3、8 -4、8 -5。
最大の8進数は7です。したがって、このシステムでカウントすると、数字の位置が0から7に増加します。7に達すると、次のカウントのために0にリサイクルされます。このようにして、次の桁位置が増加します。たとえば、シーケンスをカウントするには、8進法では次のようになります。
- 0、1、2、3、4、5、6、7、10。
- 53、54、55、56、57、60。
- 375、376、377、400。
8進法に適用される基本定理があり、次のように表されます。
この式では、diは10進法で順序付けされるのと同じ方法で、各桁の桁の値を示す8の累乗を掛けた桁を表します。
たとえば、番号は543.2です。それを8進法に変換するには、次のように分類します。
N = ∑ =（5 * 64）+（4 * 8）+（2 * 1）+（2 * 0.125）
N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 d
したがって、543.2 q = 354.25 dになります。下付き文字qは、数値8で表すこともできる8進数であることを示します。添え字dは10進数を示し、10で表すこともできます。
8進数から10進数への変換
数値を8進法から10進法の同等のものに変換するには、各8進数字に右から開始する場所の値を掛けます。
例1
732 8 =（7 * 8 2）+（3 * 8 1）+（2 * 8 0）=（7 * 64）+（3 * 8）+（2 * 1）
732 8 = 448 +24 +2
732 8 = 474 10
例2
26.9 8 =（2 * 8 1）+（6 * 8 0）+（9 * 8 -1）=（2 * 8）+（6 * 1）+（9 * 0.125）
26.9 8 = 16 + 6 + 1.125
26.9 8 = 23.125 10
10進数から8進数への変換
10進整数は、繰り返し除算法を使用して8進数に変換できます。10進整数は、商が0になるまで8で除算され、各除算の残りは8進数を表します。
残差は最後から最初に並べられます。つまり、最初の余りは8進数の最下位桁になります。そうすれば、最上位の桁が最後の余りになります。
例
10進数8進数266 10
-10進数266を8 = 266/8 = 33 +残りの2で割ります。
-33を8 = 33/8 = 4 +残りの1で割ります。
-4を8で除算する= 4/8 = 0 +残りの4。
最後の除算と同様に、1未満の商が得られます。これは、結果が見つかったことを意味します。次の図に示すように、10進数の266の8進数が412になるように、残りを逆に並べるだけです。
8進数から2進数への変換
8進数から2進数への変換は、8進数を3桁で構成される同等の2進数に変換することによって行われます。8つの可能な数字がどのように変換されるかを示す表があります。
これらの変換から、8進法から2進法への任意の数値を変更できます。たとえば、数値572 8に変換するには、表で同等のものを探します。したがって、次のことを行う必要があります。
5 8 = 101
7 8 = 111
2 8 = 10
したがって、572 8はバイナリシステムでは10111110と同等です。
2進数から8進数への変換
2進整数を8進整数に変換するプロセスは、前のプロセスの逆です。
つまり、2進数のビットは、右から左に、3ビットの2つのグループにグループ化されます。次に、上記の表を使用して、2進数から8進数への変換が行われます。
2進数に3ビットのグループがない場合もあります。完了するには、最初のグループの左側に1つまたは2つのゼロを追加します。
たとえば、2進数の11010110を8進数に変更するには、次のようにします。
-右から3ビットのグループが形成されます（最後のビット）：
11010110
-最初のグループが不完全であるため、先行ゼロが追加されます。
011010110
-変換は表から行われます。
011 = 3
010 = 2
110 = 6
したがって、2進数011010110は326 8に等しくなります。
8進数から16進数へ、またはその逆への変換
8進数から16進数に、または16進数から8進数に変更するには、まず数値を2進数に変換してから、目的のシステムに変換する必要があります。
このために、各16進数字が4桁で構成される2進法でそれと同等のもので表される表があります。
場合によっては、2進数には4ビットのグループがありません。完了するには、最初のグループの左側に1つまたは2つのゼロを追加します
例
8進数1646を16進数に変換します。
-数値を8進数から2進数に変換します
1 8 = 1
6 8 = 110
4 8 = 100
6 8 = 110
-したがって、1646 8 = 1110100110。
-2進数から16進数に変換するには、最初に4ビットのグループで右から左に順番に並べます。
11 1010 0110
-最初のグループはゼロで完了しているため、4ビットにすることができます。
0011 1010 0110
-2進数から16進数への変換が行われます。同値は、表を使用して置き換えられます。
0011 = 3
1010 = A
0110 = 6
したがって、8進数1646は16進法では3A6に相当します。
参考文献
- ブレッサン、AE（1995）。ナンバリングシステムの概要。会社のアルゼンチン大学。
- ハリス、JN（1957）。2進数と8進数のシステムの紹介：マサチューセッツ州レキシントン武装サービス技術情報局。
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- Ronald J. Tocci、NS（2003）。デジタルシステム：原理とアプリケーション。ピアソン教育。