- 通常のシーケンスと2次シーケンスの例
- 定期継承の例
- 非正規および2次シーケンスの例
- 二次シーケンスを構築するための一般的なルール
- 二次シーケンスの2つの連続する項の差
- 二次シーケンスの解決された問題
- 演習1
- 答え
- 演習2
- 答え
- 演習3
- 答え
- 参考文献
二次承継は、数学的に、特定のルール演算に従う番号の配列からなります。シーケンスの項を決定するためにこのルールを知るのは興味深いことです。
これを行う1つの方法は、2つの連続する項の間の差を決定し、得られた値が常に繰り返されるかどうかを確認することです。これが事実である場合、それは通常のシーケンスであると言われます。
数列は、数列を整理する方法です。出典：pixabay.com
しかし、それが繰り返されない場合は、違いの違いを調べて、この値が一定かどうかを確認できます。もしそうなら、それは二次シーケンスです。
通常のシーケンスと2次シーケンスの例
次の例は、これまでに説明されたことを明確にするのに役立ちます。
定期継承の例
シーケンスS = {4、7、10、13、16、……}とします
Sで示されるこのシーケンスは、この場合は整数の無限数セットです。
各項は前の項または要素に3を追加することで取得されるため、これは通常のシーケンスであることがわかります。
4
4 + 3 = 7
7+ 3 = 10
10+ 3 = 13
13+ 3 = 16
つまり、次の項と前の項の差が固定値になるため、このシーケンスは規則的です。与えられた例では、この値は3です。
前項に一定量を足して得られる正則列を算術列ともいいます。そして、連続する項の間の差-定数-は比率と呼ばれ、Rと表されます。
非正規および2次シーケンスの例
次のシーケンスを見てください。
S = {2、6、12、20、30、…。}
連続する差が計算されると、次の値が取得されます：
6-2 = 4
12-6 = 6
20-12 = 8
30-20 = 10
それらの違いは一定ではないので、それは通常のシーケンスではないと言えます。
ただし、一連の違いを考慮すると、S diffとして表される別のシーケンスがあります。
S dif = { 4、6、8、10、…。}
この新しいシーケンスは実際には通常のシーケンスです。これは、各項が前の値に固定値R = 2を追加することによって取得されるためです。これが、Sが2次シーケンスであることを確認できる理由です。
二次シーケンスを構築するための一般的なルール
二次シーケンスを構築するための一般的な式があります。
T n = A∙n 2 + B∙n + C
この式では、T nはシーケンスの位置nの項です。A、B、Cは固定値ですが、nは1つずつ異なります。つまり、1、2、3、4、…です。
前の例のシーケンスSでは、A = 1、B = 1、C = 0です。そこから、すべての項を生成する式は次のようになります。T n = n 2 + n
つまり、
T 1 = 1 2 + 1 = 2
T 2 = 2 2 + 2 = 6
T 3 = 3 2 + 3 = 12
T 5 = 5 2 + 5 = 30
T n = n 2 + n
二次シーケンスの2つの連続する項の差
T n + 1 -T n =-
注目すべき製品を介して表現を開発することは残っています
T n + 1 -T n = A∙n 2 + A∙2∙n + A + B∙n + B + C-A∙n 2 -B∙n-C
それを単純化することにより、次のことが得られます。
T n + 1 -T n = 2∙A∙n + A + B
これは、次のように記述できる差分S Difのシーケンスを与える式です。
Dif n = A∙（2n + 1）+ B
明らかに次の用語が2である場合∙時には前の用語。つまり、一連の差分の比率S diffは、R = 2∙Aです。
二次シーケンスの解決された問題
演習1
シーケンスS = {1、3、7、13、21、……}とします。次のことを確認します。
i）定期的かどうか
ii）二次かどうか
iii）それは二次式で、差のシーケンスとそれらの比率
答え
i）次の用語と前の用語の違いを計算してみましょう。
3-1 = 2
7-3 = 4
13-7 = 6
21-13 = 8
連続する項の間の差は一定ではないため、シーケンスSが規則的でないことを確認できます。
ii）項の差は定数値2であるため、差のシーケンスは規則的です。したがって、元のシーケンスSは2次です。
iii）Sが二次であることはすでに決定済みであり、差のシーケンスは次のとおりです。
S dif = { 2、4、6、8、…}であり、その比率はR = 2です。
演習2
前の例のシーケンスS = {1、3、7、13、21、……}とします。ここでは、2次式であることが確認されています。決定：
i）一般項T nを決定する式。
ii）3番目と5番目の条件を確認します。
iii）第10項の値。
答え
i）T nの一般式はA∙n 2 + B∙n + Cです。次に、A、B、Cの値を知る必要があります。
差のシーケンスの比率は2です。さらに、前のセクションで示したように、任意の2次シーケンスの比率Rは2∙Aです。
R = 2∙A = 2これにより、A = 1であると結論付けることができます。
差のシーケンスの最初の項S Difは2であり、A∙（2n + 1）+ Bを満たしている必要があります（n = 1およびA = 1）。
2 = 1∙（2∙1 + 1）+ B
Bについて解くと、次のようになります。B= -1
次に、Sの最初の項（n = 1）は1の価値があります。つまり、1 = A∙1 2 + B∙1 + Cです。
1 = 1∙1 2 +（-1）∙1 + C
Cを解くと、その値が得られます。C= 1。
要約すれば：
A = 1、B = -1およびC = 1
次に、n番目の項はT n = n 2 -n + 1になります。
II）第用語T 3 = 3 2 - 3 + 1 = 7、それが検証されます。第五のT 5 = 5 2 - 5 + 1 = 21にも確認されます。
iii）の10分の用語は、Tあろう10 = 10 2 10 + 1 = 91 - 。
演習3
演習3の一連の領域。出典：独自の詳細。
この図は、5つの図のシーケンスを示しています。ラティスは長さの単位を表します。
i）数字の領域の順序を決定します。
ii）2次シーケンスであることを示します。
iii）図#10の領域を見つけます（表示されていません）。
答え
i）一連の図の領域に対応するシーケンスSは次のとおりです：
S = {0、2、6、12、20。。。。。}
ii）Sの項の連続した差に対応するシーケンスは次のとおりです。
S diff = {2、4、6、8。。。。。}
連続する項の差は一定ではないため、Sは通常のシーケンスではありません。それが二次式であるかどうかはまだわかっていません。そのため、再び差分のシーケンスを実行して、以下を取得します。
{2、2、2、……。}
シーケンスのすべての項が繰り返されるため、Sが2次シーケンスであることを確認します。
iii）シーケンスS difは規則的であり、その比率Rは2です。上記の方程式を使用して、R = 2∙Aのままです。
2 = 2∙A、つまりA = 1であることを意味します。
一連の差分S Difの2番目の項は4で、S Difの n番目の項は
A∙（2n + 1）+B。
2番目の項はn = 2です。さらに、A = 1であることが既に決定されているため、前の方程式を使用して代入すると、次のようになります。
4 = 1∙（2∙2 + 1）+ B
Bを解くと、B = -1が得られます。
Sの第2項は2の値であり、n = 2の一般項の式を満たさなければならないことがわかっています。
T n = A∙n 2 + B∙n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2
つまり
2 = 1∙2 2-1 ∙2 + C
C = 0、つまりシーケンスSの一般的な項を与える式は次のとおりであると結論付けられます。
T n = 1∙n 2-1 ∙n +0 = n 2 -n
これで5番目の用語が検証されました。
T 5 = 5 2 - 5 = 20
iii）ここでは描かれていない図#10には、シーケンスSの第10項に対応する領域があります。
T 10 = 10 2 - = 90 10
参考文献
- https://www.geogebra.org