待ち行列理論：歴史、モデル、その目的と例 - 数学 - 2025

待ち行列理論は、行を待っている中での現象や行動を研究する数学の分野です。これらは、特定のサービスを要求するユーザーがサーバーの処理を待つことを決定したときに定義されます。

それらが人間の要素であるか、データ処理または操作であるかに関係なく、あらゆるタイプの待機ラインに存在する要素を調べます。彼の結論は、生産、登録、および加工ラインで常に適用されています。

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その値は、実装前のプロセスのパラメーター化に役立ち、正しい計画管理の主要な組織要素として機能します。

歴史

その開発の主な責任者は、コペンハーゲン電話交換通信会社で働いていたデンマーク生まれの数学者アグナークランプエランでした。

アグナー氏は、同社の電話サービス配信システムで高まっているニーズに注目している。そのため、待ち行列システムで定量化できる数学的現象の研究が始まりました。

彼の最初の公式出版物は1909年に出版されたキューイング理論と題された記事でした。

モデルと要素

キューのさまざまなモデルがあり、いくつかの側面がキューのそれぞれの定義と特徴付けを担当します。モデルを定義する前に、すべてのキューモデルを構成する要素が表示されます。

-要素

エントリのソースまたは潜在的な人口

これは、サービスの可能な申請者のセットです。これは、人間のユーザーからデータパケットセットまで、あらゆるタイプの変数に適用されます。それらはセットの性質に応じて有限と無限に分類されます。

しっぽ

これは、すでにサービスシステムの一部である要素のセットを指します。オペレーターが利用可能になるのを待つことにすでに同意しています。システムの解決を待っている状態です。

-テールシステム

これは、キュー、サービスメカニズム、およびキューの規律によって形成されるトライアドで構成されます。これは、システムプロトコルに構造を与え、キュー内の要素の選択基準を管理します。

-サービスメカニズム

これは、各ユーザーにサービスを提供するプロセスです。

-クライアント

サービスを要求するのは、潜在的な人口に属する任意の要素です。クライアントのエントリ率と、ソースがクライアントを生成する確率を把握することが重要です。

-キュー容量

それは提供されるのを待つことができるアイテムの最大容量を指します。それは有限または無限と見なすことができ、ほとんどの場合、実用性の基準では無限です。

-キューの分野

これは、顧客にサービスを提供する順序を決定するためのプロトコルです。これはユーザーの処理および注文チャネルとして機能し、キュー内での処理と移動を担当します。あなたの基準によると、それはさまざまなタイプにすることができます。

-FIFO：英語の頭字語から先入れ先出し、別名FCFS先着順。つまり、先入れ先出しと先入れ先出しがそれぞれ提供されます。どちらのフォームも、最初に到着した顧客が最初にサービスを受けることを示しています。

-LIFO：スタックまたはLCFSとしても知られる後入れ先出しが最後に提供されます。最後に到着したお客様が最初に対応されます。

-RSS：サービスのランダム選択はSIROサービスとも呼ばれ、ランダムな順序で顧客がランダムまたはランダムな基準に従って選択されます。

モデル

考慮するキューイングモデルを管理する3つの側面があります。これらは次のとおりです。

-到着間隔の分布：ユニットがキューに追加される速度を指します。これらは関数値であり、その性質に応じてさまざまな変数の影響を受けます。

-サービス時間の分布：クライアントが要求したサービスを処理するためにサーバーが使用した時間。確立された操作または手順の数によって異なります。

これらの2つの側面は、次の値を取ることができます。

M：指数指数分布（Markoviana）。

D：縮退分布（一定時間）。

E _k：形状パラメーターkのアーラン分布。

G：一般的な分布（任意の分布）。

-サーバーの数：サービスゲートが開いており、クライアントの処理に使用できます。これらは、各キューイングモデルの構造定義に不可欠です。

このようにして、キューイングモデルが定義されます。最初に、到着時間の分布とサービス時間の分布の大文字のイニシャルを取ります。最後に、サーバーの数が調査されます。

かなり一般的な例はMM 1です。これは、単一のサーバーで作業しているときの指数型の到着とサービス時間の分布を指します。

他のタイプのキューモデルは、特にMM s、MG 1、ME 1、DM 1です。

キューイングシステムのタイプ

キューイングシステムにはいくつかのタイプがあり、複数の変数が提示されたシステムのタイプのインジケータとして機能します。ただし、基本的にはキューの数とサーバーの数によって決まります。ユーザーがサービスを受けるために受ける線形構造も適用されます。

-キューとサーバー。これは、到着システムを介してユーザーがキューに入る通常の構造であり、キューの規則に従って待機を完了した後、唯一のサーバーによって処理されます。

-1つのキューと複数のサーバー。ユーザーは、待ち時間の終わりに、同じプロセスの実行者になることができるさまざまなサーバーに移動したり、さまざまな手順に対してプライベートにすることができます。

-複数のキューと複数のサーバー。構造は、さまざまなプロセスに分割したり、共通のサービスに対する高い需要に対応するための幅広いチャネルとして機能したりできます。

-順次サーバーを持つキュー。ユーザーはさまざまな段階を経ます。それらはキューに入り、キューの場所を占め、最初のサーバーによってサービスが提供されると、最初のサービスで行われた以前のフルフィルメントを必要とする新しいステージに渡されます。

用語

-λ：この記号（ラムダ）は、待ち行列理論において、時間間隔あたりの入力の期待値を表します。

-1 /λ：システムに入る各ユーザーの到着時間間の期待値に対応します。

-μ：記号Muは、単位時間あたりにサービスを完了するクライアントの予想数に対応します。これはすべてのサーバーに適用されます。

-1 /μ：システムが予想するサービス時間。

-ρ：記号Rhoはサーバーの使用率を示します。これは、サーバーがユーザーの処理でビジーになる時間を測定するために使用されます。

ρ=λ/sμ

p> 1の場合、サーバーのユーティリティ率がシステムに入るユーザーの数を下回るため、システムは一時的なものになり、大きくなる傾向があります。

p <1の場合、システムは安定したままになります。

の理論は何ですか

電話サービスの提供プロセスを最適化するために作成されました。これは待機時間の現象に関して有用性を明確にします。そこでは、時間の値を減らし、ユーザーとオペレーターのプロセスを遅くするあらゆる種類のやり直しや冗長プロセスをキャンセルすることが求められます。

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入力変数とサービス変数が混合した値をとる、より複雑なレベルでは、キューイング理論以外で実行される計算はほとんど考えられません。理論によって提供される式は、このブランチ内の高度な計算を開きました。

数式に含まれる要素

-Pn：「n」ユニットがシステム内にある確率を表す値。

-Lq：キューの長さまたはキュー内のユーザーの平均値。

-Ls：システム内のユニットの平均。

-Wq：キュー内の平均待機率。

-Ws：システムの平均待機率。

-_λ：サービスに入る平均クライアント数。

-Ws（t）：顧客がシステム内で「t」単位を超える確率を表す値。

-Wq（t）：顧客がキューに「t」ユニット以上残っている確率を表す値。

例

レジストリには、来たユーザーのパスポートを処理する単一のサーバーがあります。1時間あたり平均35人のユーザーがレジストリに参加します。サーバーには、1時間あたり45人のユーザーを処理する能力があります。ユーザーがキューで平均5分間費やすことは以前から知られています。

あなたは知りたがっている：

1. 各ユーザーがシステムに費やす平均時間
2. キュー内の平均顧客数

λ= 35/45顧客/分

μ= 45/60クライアント/分

Wq = 5分

パートA

システムの平均時間はWsで計算できます

Ws = Wq + 1 /μ= 5分+ 1.33 = 6.33分

このようにして、ユーザーがシステムに滞在する合計時間が定義されます。5分はキューに、1.33分はサーバーに配置されます。

パートB

Lq =λx Wq

Lq =（0.78クライアント分）x（5分）= 3.89クライアント

キューには同時に3つ以上のクライアントが存在する可能性があります。

参考文献

1. 業務管理。エディトリアル・ヴェルティス、4月16日。2007年
2. 待ち行列または待機線の理論。ジェルマンアルベルトコルドババラホナ。ポンティフィシアユニバーシダッドジャベリアナ、2002年
3. システム理論は問題を解決しました。Roberto Sanchis Llopis。ジャウメ1世大学出版物、2002年
4. 産業組織の定量的方法II。Joan Baptista Fonollosa Guardiet、JoséMaríaSallánLaws、AlbertSuñéTorrents。ポリテック大学 2009年カタルーニャ出身
5. 在庫理論とその応用。エディトリアルPax-México、1967