セット理論：特性、要素、例、演習 - 数学 - 2025

集合論は数学的なロジック・セットと呼ばれるエンティティ間の関係を研究するための責任があるのブランチです。セットは、同じ性質のオブジェクトのコレクションであることを特徴としています。上記のオブジェクトは、セットの要素であり、数字、文字、幾何学図形、オブジェクトを表す単語、オブジェクト自体などです。

集合論を提案したのは、19世紀の終わりごろ、Georg Cantorでした。20世紀の他の著名な数学者たちが公式化した一方で、ゴットロブフレゲ、エルンストツェルメロ、ベルトランラッセル、アドルフフランケルなどがいます。

図1.セットA、Bとそれらの交差A⋂Bのベン図（独自の詳細）。

ベン図は、セットを表すグラフィックの方法であり、セットの要素である閉じた平面図で構成されています。

たとえば、図1には、AとBに共通の要素である共通の要素を持つ2つのセットAとBが示されています。これらは、AとBの交差セットと呼ばれる新しいセットを形成します。次のようにシンボリック：

A∩B

特徴

このセットは、ジオメトリでは点、線、または平面の概念であるので、原始的な概念です。例を指摘することよりも、コンセプトを表現するより良い方法はありません。

スペインの旗の色で作られたセットE。セットを表現するこの方法は、理解によって呼び出されます。拡張によって書かれた同じセットEは次のとおりです。

E = {赤、黄}

この場合、赤と黄色はセットEの要素です。要素は中括弧で囲まれており、繰り返されていないことに注意してください。スペインの旗の場合、3つの色のストライプ（赤、黄、赤）があり、そのうちの2つが繰り返されますが、全体が表現されるとき、要素は繰り返されません。

最初の3つの母音文字で構成される集合Vを考えます。

V = {a、e、i}

P（V）で表されるVのべき乗セットは、Vの要素で形成できるすべてのセットのセットです。

P（V）= {{a}、{e}、{i}、{a、e}、{a、i}、{e、i}、{a、e、i}}

セットの種類

有限集合

それはその要素が数えられるセットです。有限集合の例としては、スペイン語のアルファベットの文字、スペイン語の母音、太陽系の惑星などがあります。有限集合の要素の数は、その基数と呼ばれます。

無限集合

要素の数がいくら大きくても、常により多くの要素を見つけることができるので、無限の集合は、その要素の数が数えられないすべてであると理解されています。

無限集合の例は、自然数Nの集合です。これは、拡張形式で次のように表されます。

N = {1、2、3、4、5、…。}自然数がいくら大きくても、無限のプロセスで常に次に大きいものを見つけることができるため、明らかに無限のセットです。明らかに、無限セットのカーディナリティーは∞です。

空集合

要素を含まないセットです。空のセットVは、Øまたは要素のないキーのペアで表されます。

V = {} =Ø。

空のセットは一意であるため、「空のセット」と言うのは正しくないはずです。正しい形式は「空のセット」と言うことです。

空のセットのプロパティの中で、それは任意のセットのサブセットであることがわかります。

Ø⊂A

さらに、セットが空のセットのサブセットである場合、必然的にそのセットはバキュームになります。

A⊂Ø⇔A =Ø

ユニタリーセット

ユニットセットは、単一の要素を含む任意のセットです。たとえば、地球の自然衛星のセットは単一のセットであり、その唯一の要素は月です。2未満でゼロより大きい整数のセットBには要素1しかないため、これは単位セットです。

バイナリーセット

要素が2つしかない場合、セットはバイナリです。たとえば、xがx ^ 2 = 2の実数解であるようなセットXです。この拡張セットは、次のように記述されます。

X = {-√2、+√2}

ユニバーサルセット

ユニバーサルセットは、同じタイプまたは性質の他のセットを含むセットです。たとえば、自然数のユニバーサルセットは実数のセットです。しかし、実数は整数と有理数の普遍的な集合でもあります。

コアアイテム

-セット間の関係

アセンブリでは、アセンブリとその要素の間にさまざまなタイプの関係を確立できます。2つのセットAとBの要素がまったく同じ場合、次のように等価関係が確立されます。

A = B

セットAのすべての要素がセットBに属しているが、Bのすべての要素がAに属しているわけではない場合、これらのセットの間に次のように示される包含関係があります。

A⊂B、ただしB⊄A

上記の式では、AはBのサブセットですが、BはAのサブセットではありません。

一部の要素がセットに属していることを示すには、メンバーシップ記号∈を使用します。たとえば、x要素がセットAに属していると、記号的に次のように記述します。

x∈A

要素がセットAに属していない場合、この関係は次のように記述されます。

および∉A

メンバーシップ関係は、セットの要素とセットの間に存在しますが、唯一の例外として、パワーセットは、そのセットの要素で形成されるすべての可能なセットのコレクションまたはセットです。

V = {a、e、i}とすると、そのパワーセットはP（V）= {{a}、{e}、{i}、{a、e}、{a、i}、{e、i}です。 、{a、e、i}}、その場合、セットVはセットP（V）の要素となり、次のように記述できます。

V∈P（V）

-インクルージョンのプロパティ

包含の最初の特性は、すべてのセットがそれ自体に含まれていること、つまり、それがそれ自体のサブセットであることを確立します。

A⊂A

包含の他のプロパティは推移性です。AがBのサブセットであり、BがCのサブセットである場合、AはCのサブセットです。記号形式では、推移性関係は次のように記述されます。

（A⊂B）^（B⊂C）=> A⊂C

以下は、包含の推移性に対応するベン図です。

図2.（A⊂B）^（B⊂C）=> A⊂C

-セット間の操作

交差点

交差は、最初の2つと同じユニバーサルセットに属する新しいセットを生成する2つのセット間の演算です。その意味で、それはクローズドオペレーションです。

象徴的に、交差演算は次のように定式化されます。

A⋂B= {x /x∈A^x∈B}

例は次のとおりです。「elements」という単語の文字のセットAと「repeated」という単語の文字のセットBの場合、AとBの交差は次のように記述されます。

A⋂B= {e、l、m、n、t、s}⋂{r、e、p、t、i、d、o、s} = {e、t、s}。A、B、およびA⋂BのユニバーサルセットUは、スペイン語のアルファベットの文字のセットです。

連合

2つのセットの和集合は、2つのセットに共通の要素と2つのセットの非共通要素によって形成されるセットです。セット間の結合演算は、次のように象徴的に表現されます。

A∪B= {x /x∈Avx∈B}

差

セットAからセットBを引いた差演算は、ABで表されます。ABは、Aにあり、Bに属さないすべての要素によって形成される新しいセットです。象徴的には、次のように記述されます。

A-B = {x / x∈A ^ x∉B}

図3. A-B = {x / x∈A ^ x∉B}

対称差

対称差は、2つのセット間の演算であり、結果のセットは2つのセットに共通でない要素で構成されます。対称差は、次のように象徴的に表されます。

A⊕B= {x /x∈（AB）^x∈（BA）}

例

例1

ベン図は、セットを表すグラフィカルな方法です。たとえば、単語セットの文字のセットCは次のように表されます。

例2

以下のベン図によって、「セット」という単語の母音のセットは、「セット」という単語の文字のセットのサブセットであることが示されています。

例3

セットÑスペイン語のアルファベットの文字のが有限集合で、拡張することで、このセットは、次のように書かれています：

Ñ = {a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l、m、n、ñ、o、p、q、r、s、t、u、v、w 、x、y、z}、そのカーディナリティは27です。

実施例4

スペイン語の母音のセットVは、セットsubsetのサブセットです。

V ⊂ Nがゆえ有限集合です。

拡張形式の有限集合Vは次のように記述されます：V = {a、e、i、o、u}、そのカーディナリティは5です。

例5

セットA = {2、4、6、8}およびB = {1、2、4、7、9}を前提として、ABおよびBAを決定します。

A-Bは、BにはないAの要素です。

A-B = {6、8}

B-Aは、AにないBの要素です。

B-A = {1、7、9}

解決された演習

演習1

シンボリックな形式で、また拡張により、10未満の自然数の集合Pを記述します。

解：P = {x∈N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2、4、6、8}

演習2

210の因数である自然数によって形成されたセットAと、9未満の素数の自然数によって形成されたセットBを想定します。両方のセットを拡張して決定し、2つのセット間の関係を確立します。

ソリューション：セットAの要素を決定するには、自然数210の因子を見つけることから始める必要があります。

210 = 2 * 3 * 5 * 7

次に、セットAが書き込まれます。

A = {2、3、5、7}

9未満の素数であるセットBについて考えます。1は素数の定義を満たさないため、1は素数ではありません。2は偶数であり、同時に素数の定義を満たすため素数です。9未満の他の素数は3、5、7です。したがって、セットBは次のようになります。

B = {2、3、5、7}

したがって、2つのセットは等しい：A = B。

演習3

要素xがxと異なるセットを決定します。

解：C = {x / x≠x}

すべての要素、数、またはオブジェクトはそれ自体と等しいため、セットCは空のセット以外にすることはできません。

C =Ø

演習4

自然数のNのセットとZを整数のセットとする。N⋂ZとN∪Zを決定します。

解決：

N⋂Z = {x∈Z / x≤0} =（-∞、0]

N⊂Zであるため、N∪Z =Z。

参考文献

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