ベイズの定理は、私たちが可能な手順であるためにのみA.の確率分布がイベントAとBの確率分布の観点から、B所与ランダムイベントAの条件付き確率を表します
この定理は、Bが発生したことを知ってイベントAが発生する確率と、その逆、つまりAが与えられたときにBが発生する確率を関連付けることができるため、非常に便利です。
ベイズの定理は、数学者でもある18世紀の英国の神学者である牧師のトーマスベイズによる銀の命題でした。彼は神学のいくつかの著作の著者でしたが、現在、彼はいくつかの数学的論文で知られており、その中で前述のベイズの定理が主な結果として際立っています。
ベイズはこの定理を、1763年に出版された「チャンスの教義の問題を解決するためのエッセイ」というタイトルの作品で扱い、その数は非常に多くなっています。知識のさまざまな分野でのアプリケーションの研究。
説明
まず、この定理をよりよく理解するには、確率論のいくつかの基本的な概念、特に条件付き確率の乗法定理が必要です。
EおよびAの場合、サンプル空間Sの任意のイベント。
また、パーティションの定義。これは、サンプル空間SのA 1、A 2、…、A nイベントがある場合、A iが相互に排他的であり、それらの和集合がSである場合、これらはSのパーティションを形成することを示します。
これを前提として、Bを別のイベントとします。したがって、Bは
A iがBと交差する場所は、相互に排他的なイベントです。
そしてその結果、
次に、乗算定理を適用します
一方、Bが与えられたAiの条件付き確率は、
適切に置き換えると、どのiでもそれが得られます
ベイズの定理の応用
この成果のおかげで、研究グループやさまざまな企業が知識に基づくシステムを改善することができました。
たとえば、疾患の研究では、ベイズの定理は、疾患の全体的な発生率と、健康な人も病気の人も。
一方、高度なテクノロジーの世界では、この結果のおかげで「知識ベース」ソフトウェアを開発した大企業に影響を与えています。
毎日の例として、Microsoft Officeアシスタントがあります。ベイズの定理は、ソフトウェアがユーザーが提示する問題を評価し、彼に与えるべきアドバイスを決定するのに役立ち、ユーザーの習慣に従ってより良いサービスを提供できるようになります。
特に、この式は最近まで無視されていました。これは主に、この結果が200年前に開発されたとき、それらの実用性がほとんどなかったためです。しかし、私たちの時代では、大きな技術進歩のおかげで、科学者たちはこの結果を実践する方法を見つけました。
解決済みの演習
演習1
携帯電話会社には2台の機械AとBがあります。製造された携帯電話の54％は機械Aで製造され、残りは機械Bで製造されています。製造されたすべての携帯電話が良好な状態にあるわけではありません。
Aが作成した携帯電話の不良品の割合は0.2で、Bが作成した携帯電話の割合は0.5です。その工場の携帯電話が故障している確率はどれくらいですか？携帯電話に欠陥があることを知っていて、それがマシンAからのものである確率はどれくらいですか？
解決
ここでは、2つの部分で行われる実験があります。最初の部分でイベントが発生します：
A：機械Aで製造されたセル。
B：マシンBによって作成されたセル。
マシンAは携帯電話の54％を生産し、残りはマシンBが生産しているため、マシンBは携帯電話の46％を生産していることになります。これらのイベントの確率は次のとおりです。
P（A）= 0.54。
P（B）= 0.46。
実験の第2部のイベントは次のとおりです。
D：携帯電話の欠陥。
E：欠陥のない携帯電話。
ステートメントで述べたように、これらのイベントの確率は、最初の部分で得られた結果によって異なります。
P（DA）= 0.2。
P（DB）= 0.5。
これらの値を使用して、これらのイベントの補数の確率も決定できます。
P（EA）= 1-P（DA）
= 1-0.2
= 0.8
そして
p（EB）= 1-P（DB）
= 1-0.5
= 0.5。
イベントDは次のように記述できます。
条件付き確率の結果に対する乗算定理の使用：
その後、最初の質問に回答します。
ここで必要なのは、ベイズの定理が適用されるP（AD）を計算することだけです。
ベイズの定理のおかげで、携帯電話に欠陥があることを知っていれば、携帯電話がマシンAによって作成された確率は0.319であると言えます。
演習2
3つのボックスには黒と白のボールが入っています。それぞれの構成は次のとおりです。U1= {3B、1N}、U2 = {2B、2N}、U3 = {1B、3N}。
ボックスの1つがランダムに選択され、ボールがランダムに描かれ、白になります。選ばれた可能性が最も高いボックスは何ですか？
解決
U1、U2、U3を使用して、選択したボックスも表します。
これらのイベントはSのパーティションを構成し、ボックスの選択はランダムであるため、P（U1）= P（U2）= P（U3）= 1/3であることが検証されます。
B = {描かれたボールが白}の場合、P（B-U1）= 3/4、P（B-U2）= 2/4、P（B-U3）= 1/4になります。
私たちが取得したいのは、ボールが箱から取り出された確率であり、Uiは、そのボールが白、つまりP（Ui -B）であることを知っていて、3つの値のうちどれが最も高いかを確認します。ボックスは、キューボールの抽出である可能性が最も高いです。
最初のボックスにベイズの定理を適用する：
そして、他の2つについて：
P（U2-B）= 2/6およびP（U3-B）= 1/6。
次に、最初のボックスは、キューボールの抽出のために選択された確率が最も高いボックスです。
参考文献
- カイライチョン。確率過程を伴う初等確率理論。Springer-Verlag New York Inc
- ケネス ローゼン：離散数学とその応用。SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DEESPAÑA。
- ポール・L・マイヤー。確率と統計アプリケーション。SA ALHAMBRA MEXICANA。
- シーモアリプスチャッツ博士 2000離散数学の問題を解決しました。マグローヒル。
- シーモアリプスチャッツ博士 理論と確率の問題。マグローヒル。