チェビショフの定理：それが何であるか、アプリケーションと例 - 数学 - 2025

定理チェビシェフ（チェビシェフや不平等）は確率論の最も重要な古典の結果の一つです。確率変数の分布ではなくXの分散に依存する境界を提供することにより、確率変数Xで記述されたイベントの確率を推定できます。

この定理は、ロシアの数学者Pafnuty Chebyshov（別名ChebychevまたはTchebycheff）にちなんで名付けられました。彼は、定理を最初に述べたわけではありませんが、1867年に初めて証明を与えました。

この不等式、またはその特性のためにチェビショフの不等式と呼ばれる不等式は、主に高さを計算して確率を概算するために使用されます。

それは何で構成されていますか？

確率理論の研究では、確率変数Xの分布関数がわかっている場合、その期待値-または数学的期待値E（X）-とその分散Var（X）が計算できる限り、そのような量が存在します。ただし、その逆は必ずしも当てはまりません。

つまり、E（X）とVar（X）がわかっていれば、Xの分布関数を取得することは必ずしも可能ではありません。しかし、チェビショフの不等式のおかげで、確率変数の確率を推定することが可能です。

チェビショフの定理は、確率関数pを持つサンプル空間Sにわたって確率変数Xがあり、k> 0の場合、次のようになることを示しています。

アプリケーションと例

チェビショフの定理の多くの応用の中で、次のことが挙げられます。

確率を制限する

これは最も一般的なアプリケーションであり、確率関数を知らずに、確率変数Xの分散と期待値のみを使用して、P（-XE（X）-≥k）の上限を与えるために使用されます。 。

例1

1週間に企業で製造された製品の数が平均50の確率変数であるとします。

1週間の生産量の分散が25に等しいことがわかっている場合、今週の生産量が平均と10を超える確率はどうなるでしょうか。

解決

チェビショフの不等式を適用すると：

これから、製造週に記事数が平均を10を超える確率は最大で1/4であることがわかります。

限界定理の証明

チェビショフの不等式は、最も重要な極限定理を証明する上で重要な役割を果たします。例として、以下があります。

多数の弱い法則

この法律状態その系列X1、X2、…、Xnを、…同じ平均分布E（西）=μと分散Varを持つ独立した確率変数について（X）=σ ²、および既知の平均値のサンプル：

次に、k> 0の場合：

または、同等に：

デモンストレーション

最初に次のことに注意しましょう：

X1、X2、…、Xnは独立しているため、次のようになります。

したがって、次のように述べることができます。

次に、チェビショフの定理を使用すると、次のようになります。

最後に、定理は、nが無限大に近づくと、右側の制限がゼロになるという事実から生じます。

このテストは、Xiの分散が存在する場合にのみ行われたことに注意してください。つまり、分岐しません。したがって、E（Xi）が存在する場合、定理は常に真であることがわかります。

チェビショフ限界定理

X1、X2、…、Xn、…が、いくつかのC <無限大が存在するような独立したランダム変数のシーケンスである場合、すべての自然nに対してVar（Xn）≤Cとなり、その後、任意のk>に対して0：

デモンストレーション

分散のシーケンスは均一に制限されているため、すべての自然nに対してVar（Sn）≤C / nとなります。しかし、私たちはそれを知っています：

nを無限大に近づけると、次の結果になります。

確率は値1を超えることはできないため、望ましい結果が得られます。この定理の結果として、ベルヌーイの特定のケースに言及することができます。

実験が2つの可能な結果（失敗と成功）でn回独立して繰り返される場合、pは各実験での成功の確率、Xは得られた成功の数を表す確率変数であり、それぞれのk> 0必ず：

サンプルサイズ

分散に関しては、チェビショフの不等式により、-Sn-μ-> = kが発生する確率が必要なだけ小さいことを保証するのに十分なサンプルサイズnを見つけることができます。これにより、近似が可能になります。平均に。

具体的には、X1、X2は、… Xnのサイズの独立した確率変数のサンプルをnとE（西）=μとその分散σと仮定してみましょう²。次に、チェビショフの不等式により、

例

X1、X2、…Xnがベルヌーイ分布を持つ独立確率変数のサンプルであり、確率p = 0.5で値1を取ると仮定します。

算術平均Snとその期待値（0.1を超える）の差が0.01以下であることを保証できるようにするには、サンプルのサイズを何にする必要がありますか？

解決

我々は、E（X）=μ= P = 0.5、ヴァー（X）=σそのことを持っている² 0.25 = P =（1-P）。チェビショフの不等式により、k> 0に対して次のようになります。

ここで、k = 0.1およびδ= 0.01とすると、次のようになります。

このように、イベントの確率-Sn-0.5-> = 0.1が0.01未満であることを保証するには、少なくとも2,500のサンプルサイズが必要であると結論付けられます。

チェビショフ型不等式

チェビショフの不等式に関連するいくつかの不等式があります。最もよく知られているのは、マルコフ不等式です。

この式では、Xはk、r> 0の非負の確率変数です。

マルコフ不等式はさまざまな形をとることがあります。たとえば、Yを負でない確率変数（つまりP（Y> = 0）= 1）とし、E（Y）=μが存在するとします。（E（Y））ことも想定^R =μ _Rいくつかの整数r> 1のために存在します。そう：

もう1つの不等式はガウスで、モードがゼロの単峰確率変数Xが与えられ、k> 0の場合、

参考文献

1. カイライチョン。確率過程を伴う初等確率理論。Springer-Verlag New York Inc
2. ケネス ローゼン：離散数学とその応用。SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DEESPAÑA。
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