ユークリッドの定理は、線を描画する三角形の性質を示すこと除算 、それを今度は、元の三角形に似ている、似ていて、二つの新しい三角形に。次に、比例関係があります。
ユークリッドは重要な定理のいくつかの証明を行った古代の偉大な数学者と幾何学者の一人でした。主なものの1つは彼の名前が付いたもので、幅広い用途があります。
これは、この定理により、直角三角形に存在する幾何学的関係を単純な方法で説明するためでした。三角形の脚は、斜辺への投影に関連しています。
数式とデモ
ユークリッドの定理は、すべての直角三角形に線が引かれると（斜辺に対する直角の頂点に対応する高さを表す）、2つの直角三角形が元の三角形から形成されることを提案しています。
これらの三角形は互いに類似しており、元の三角形にも類似しています。つまり、類似した辺は互いに比例しています。
3つの三角形の角度は合同です。つまり、頂点を中心に180度回転すると、1つの角度が他の角度と一致します。これは、それらがすべて同じになることを意味します。
このように、3つの三角形の間に存在する類似性は、それらの角度の同等性によっても検証できます。三角形の類似性から、ユークリッドは2つの定理からこれらの比率を確立します。
-高さの定理。
-脚の定理。
この定理は幅広い用途があります。古代には、高さまたは距離を計算するために使用され、三角法の大きな進歩を表しています。
現在、工学、物理学、化学、天文学など、数学に基づいたさまざまな分野に適用されています。
高さの定理
この定理では、どの直角三角形でも、斜辺に対して直角から引かれた高さは、斜辺で決定する脚の投影間の幾何学的比例平均（高さの2乗）であることが確立されています。
つまり、高さの2乗は、斜辺を形成する投影された脚の乗算に等しくなります。
h c 2 = m * n
デモンストレーション
頂点Cにある三角形ABCが与えられた場合、高さをプロットすると、ADCとBCDの2つの類似した直角三角形が生成されます。したがって、対応する側面は比例します。
セグメントCDに対応する高さh cが斜辺AB = cに対応するように、次のようになります。
次に、これは以下に対応します。
斜辺（h c）を解いて、等式の2つのメンバーを乗算すると、次のようになります。
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
したがって、斜辺の値は次のように与えられます。
脚定理
この定理では、すべての直角三角形で、各脚のメジャーは斜辺（完全）のメジャーと各脚の投影の間の幾何学的比例平均（各脚の平方）になることが確立されています。
b 2 = c * m
a 2 = c * n
デモンストレーション
頂点Cの右側にある三角形ABCが与えられ、その斜辺がcになるように、高さ（h）をプロットすると、脚aとbの投影が決定されます。脚aとbの投影は、それぞれセグメントmとnであり、斜辺。
したがって、直角三角形ABCに描かれた高さが2つの類似した直角三角形ADCとBCDを生成するため、対応する辺は次のように比例します。
DB = n、これは脚CBの斜辺への投影です。
AD = m、これは斜辺での脚ACの投影です。
次に、斜辺cは、その投影の脚の合計によって決定されます。
c = m + n
三角形ADCとBCDの類似性により、次のようになります。
上記は同じです：
等式の2つのメンバーを乗算するためにレッグ「a」を解くと、
a * a = c * n
a 2 = c * n
したがって、レッグ「a」の値は次のように与えられます。
同様に、三角形ACBとADCは類似しているため、次のようになります。
上記は次と同じです。
等式の2つのメンバーを乗算するためにレッグ "b"を解くと、
b * b = c * m
b 2 = c * m
したがって、レッグ「b」の値は次のように与えられます。
ユークリッドの定理の関係
高さと脚に関する定理は、両方の測定が直角三角形の斜辺に対して行われるため、互いに関連しています。
ユークリッドの定理の関係から、高さの値もわかります。これは、脚の定理からmとnの値を解くことによって可能であり、それらは高さの定理で置き換えられます。このようにして、高さが脚の掛け算を斜辺で割ったものに等しいことが満たされます。
b 2 = c * m
m = b 2 ÷c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷c
高さの定理では、mとnを置き換えます。
h c 2 = m * n
h c 2 =（b 2 ÷c）*（a 2 ÷c）
h c =（b 2 * a 2）÷c
解決された演習
例1
ABCがAの右側にある場合、ABが30 cm、BD = 18 cmの場合、ACとADの測定値を決定します。
解決
この場合、投影された脚の1つ（BD）と元の三角形の脚の1つ（AB）の測定値があります。このようにして、脚定理を適用して脚BCの値を見つけることができます。
AB 2 = BD * BC
（30）2 = 18 *紀元前
900 = 18 *紀元前
BC = 900÷18
BC = 50 cm
レッグCDの値は、BC = 50であることがわかります。
CD = BC-BD
CD = 50-18 = 32 cm
これで、脚の定理を再度適用して、脚のACの値を決定することができます。
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC =√1600= 40 cm
高さ（AD）の値を決定するには、投影された脚のCDおよびBDの値がわかっているため、高さの定理が適用されます。
AD 2 = 32 * 18
AD 2 = 576
AD =√576
AD = 24 cm
例2
セグメントの測定値を知っている、Nの右にある三角形MNLの高さ（h）の値を決定します。
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
解決
斜辺（PM）に投影された脚の1つのメジャーと、元の三角形の脚のメジャーがあります。このようにして、脚の定理を適用して、他の投影された脚（LN）の値を見つけることができます。
NL 2 = PM * LM
（10）2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100÷5 = 20
脚と斜辺の値はすでにわかっているため、高さと脚の定理の関係により、高さの値を決定できます。
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h =（b 2 * a 2）÷c。
h =（10 2 * 5 2）÷（20）
h =（100 * 25）÷（20）
h = 2500÷20
h = 125 cm。
参考文献
- ブラウン、E（2011）。カオス、フラクタル、奇妙なもの。経済文化基金。
- カブレラ、VM（1974）。現代数学、ボリューム3。
- ダニエルヘルナンデス、DP（2014）。3年目の数学。カラカス：サンティジャーナ。
- 百科事典Britannica、i。（1995）。ヒスパニック百科事典：マクロペディア。百科事典ブリタニカ出版社。
- ユークリッド、RP（1886）。ユークリッドのジオメトリの要素。
- Guardeño、AJ（2000）。数学の遺産：ユークリッドからニュートンまで、彼らの本を通して天才。セビリア大学。