グリーンの定理は、接続線積分二重積分または表面領域に使用される計算方法です。関連する関数は、ベクトルフィールドとして示され、パスC内で定義される必要があります。
たとえば、線積分式は解くのが非常に難しい場合があります。しかし、グリーンの定理を実装することにより、二重積分は非常に基本的なものになります。軌道の正の方向を尊重することは常に重要です。これは反時計回りの方向を指します。
グリーンの定理は、ストークスの定理の特定のケースであり、ベクトル関数の投影は、xy平面で実行されます。
定義
グリーンの定理の表現は次のとおりです。
最初の項は、ベクトル関数「F」とベクトル関数「r」の間のスカラー積のパス「C」によって定義される線積分を示します。
C：これは、平面に定義されている限り、ベクトル関数が投影される定義済みパスです。
F：ベクトル関数。その各コンポーネントは（f、g）のような関数によって定義されます。
r：積分が定義されている領域Rに接するベクトルです。この場合、このベクトルの微分で動作します。
第2項では、グリーンの定理が展開されていることがわかります。ここで、xとyに関して、gとfの偏微分の差の領域Rで定義された二重積分が観察されます。両方の2次元微分（dx.dy）の積にすぎない面積微分。
この定理は、空間および表面積分に完全に適用できます。
デモンストレーション
グリーンの定理を簡単な方法で証明するために、このタスクは2つの部分に分けられます。まず、ベクトル関数Fがバーサiでのみ定義されていると仮定します。一方、バージョンjに対応する関数 "g"はゼロに等しくなります。
著者
F = f（x、y）i + g（x、y）j = f（x、y）i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
最初に、パスCで線積分を作成します。パスは、最初にaからbに、次にbからaに行く2つのセクションにセクター化されています。
微積分の基本定理の定義は、定積分に適用されます。
式は単一の積分に再配置され、負は共通因子になり、因子の順序が逆になります。
この式を詳細に観察すると、プリミティブ関数の基準を適用すると、fから導出された式のyに関する積分が存在することが明らかになります。パラメータで評価
ここで、ベクトル関数Fがg（x、y）jに対してのみ定義されていると仮定すれば十分です。前のケースと同様の方法で操作すると、次のようになります。
最後に、ベクトル関数が両方の逆数の値を取る場合、2つの証明が取得され、結合されます。このようにして、1次元の軌道として定義および考慮された後の線積分が、平面と空間に対してどのように完全に展開できるかが示されます。
F = f（x、y）i + g（x、y）j
このようにして、グリーンの定理が証明されます。
用途
グリーンの定理の適用は、物理学と数学の分野で広く使用されています。これらは、ライン統合に与えることができるすべてのアプリケーションまたは使用に拡張されます。
パスCを通る力Fによって行われる機械的作業は、グリーンの定理によって領域の二重積分として表される線積分によって展開できます。
適用のさまざまなポイントで外力を受ける多くの物体の慣性モーメントは、グリーンの定理で展開できる線積分にも応答します。
これは、使用中の材料の耐性研究において複数の機能を備えています。さまざまな要素を開発する前に、外部の値を定量化して考慮できる場合。
一般に、グリーンの定理は、パスに沿った領域に関してベクトル関数が定義されている領域の理解と定義を容易にします。
歴史
それは1828年にイギリスの数学者ジョージグリーンによって書かれた電気と磁気の理論への数学的分析の仕事で出版されました。その中で、物理学における微積分の適用における非常に決定的なセクション、たとえば潜在的な関数の概念、グリーンの関数、および彼の自己名付けされた定理の適用などが探究されています。
ジョージグリーンは、40歳で生徒のキャリアを正式に確立し、今までは完全に独学の数学者でした。ケンブリッジ大学で学んだ後、彼は研究を続け、音響、光学、流体力学に貢献し、今日でも有効です。
他の定理との関係
グリーンの定理は特別な場合であり、微積分学の分野で他の2つの非常に重要な定理から生じます。これらは、ケルビン・ストークスの定理と発散またはガウス・オストログラドスキーの定理です。
2つの定理のどちらからでも、グリーンの定理に到達できます。このような証明を作成するには、特定の定義と命題が必要です。
演習
-次の演習では、領域Rに関して線積分を二重積分に変換する方法を示します。
元の式は次のとおりです。
対応する関数afおよびgが取得される場所
f（x、y）= x 3 g（x、y）= yx
df / dy = 0 dg / dx = y
グリーンの定理を適用する場合、統合の限界を定義する単一の方法はありません。しかし、定義後の積分をより簡単にできる方法があります。したがって、積分制限の最適化には注意が必要です。
積分を解くときに得られる場所：
この値は、立方単位で、ベクトル関数の下の領域とCで定義された三角形の領域に対応します。
グリーンの方法を実行しない線積分の場合、領域の各セクションの関数をパラメーター化する必要があったでしょう。つまり、解像度に対して3つのパラメーター化された積分を実行します。これは、ロバート・グリーンが定理とともに微積分にもたらした効率性の十分な証拠です。
参考文献
- 連続体力学の紹介。Wマイケルライ、デビッドH.ルビン、エアハルトクレプル、デビッドルビンバターワースハイネマン、7月23日。2009年
- 多変量計算。ジェームス・スチュワート。Cengage Learning、3月22日 2011年
- グリーンの定理と関連するアイデアの非公式な歴史。ジェームズ・ジョセフ・クロス。メルボルン大学数学科、1975
- グリーン関数を使用した熱伝導。ケビン・D・コール、ジェームズ・V・ベック、A・ハジ・シェイク、バーマン・リトコヒ。テイラー&フランシス、7月16日 2010
- 線形積分の極値化へのグリーンの定理の適用。防衛技術情報センター、1961