Moivreの定理は、力や複素数の根の抽出などの代数の基本的なプロセスを適用しました。この定理は、有名なフランスの数学者Abraham de Moivre（1730）によって述べられました。彼は複素数と三角法を関連付けました。
Abraham Moivreは、サインとコサインの表現を通じてこの関連付けを行いました。この数学者は、複素数zをn乗することができる一種の式を生成しました。これは、1以上の正の整数です。
Moivreの定理とは何ですか？
Moivreの定理は次のように述べています。
極形式z = rƟの複素数がある場合、rは複素数zのモジュールであり、角度Ɵは0≤Ɵ≤2πの任意の複素数の振幅または引数と呼ばれ、そのn–を計算しますこれは、それ自体をn倍する必要はありません。つまり、次の製品を作成する必要はありません。
Z n = z * z * z *。。* Z = R Ɵ* R Ɵ* R Ɵ*。。。* R Ɵ n倍。
それどころか、定理は、zをその三角関数の形で書くとき、n乗を計算するために、次のように進むと述べています。
z = r（cosƟ+ i * sinƟ）の場合、z n = r n（cos n *Ɵ+ i * sin n *Ɵ）。
たとえば、n = 2の場合、z 2 = r 2です。n = 3の場合、z 3 = z 2 * zです。また：
z 3 = r 2 * r = r 3。
このようにして、角度の三角比が既知である限り、角度の倍数に対する正弦と余弦の三角比を得ることができます。
同様に、これを使用して、複素数zのn番目の根についてより正確で混乱の少ない式を見つけることができます。そのため、z n = 1になります。
Moivreの定理を証明するために、数学的帰納法の原理が使用されます。整数 "a"にプロパティ "P"がある場合、および "a"より大きい整数 "n"にプロパティ "P"がある場合n + 1にもプロパティ「P」があることを満たし、「a」以上のすべての整数はプロパティ「P」を持ちます。
デモンストレーション
したがって、定理の証明は次の手順で行われます。
誘導ベース
最初にn = 1がチェックされます。
z 1 =（r（cosƟ+ i * sinƟ））1 = r 1（cosƟ+ i * sinƟ）1 = r 1なので、定理はn = 1に対して成立します。
帰納的仮説
式は、いくつかの正の整数、つまりn = kに対して真であると想定されます。
z k =（r（cosƟ+ i * sinƟ））k = r k（cos kƟ+ i * sin kƟ）。
検証
これは、n = k + 1の場合に当てはまることが証明されています。
z k + 1 = z k * z なので、z k + 1 =（r（cosƟ+ i * sinƟ））k + 1 = r k（coskƟ+ i * sinkƟ）* r（cosƟ+ i * senƟ）。
次に、式が乗算されます。
z k + 1 = r k + 1（（coskƟ）*（cosƟ）+（coskƟ）*（i * sinƟ）+（i * sinkƟ）*（cosƟ）+（i * sinkƟ）*（i * senƟ））。
しばらくの間、係数r k + 1は無視され、共通の係数iが使用されます。
（coskƟ）*（cosƟ）+ i（coskƟ）*（sinƟ）+ i（sinkƟ）*（cosƟ）+ i 2（sinkƟ）*（sinƟ）。
i 2 = -1なので、式に代入すると次のようになります。
（coskƟ）*（cosƟ）+ i（coskƟ）*（sinƟ）+ i（sinkƟ）*（cosƟ）-（sinkƟ）*（sinƟ）
次に、実数部と虚数部が順序付けられます。
（coskƟ）*（cosƟ）-（sinkƟ）*（sinƟ）+ i。
式を簡略化するために、角度の合計の三角関数のアイデンティティがコサインとサインに適用されます。
cos（A + B）= cos A * cos B-sin A * sinB。
sin（A + B）= sin A * cos B-cos A * cosB。
この場合、変数は角度ƟおよびkƟです。三角関数のアイデンティティを適用すると、次のようになります。
coskƟ * cosƟ- sinkƟ * sinƟ= cos（kƟ+Ɵ）
sinkƟ * cosƟ+ coskƟ * sinƟ= sin（kƟ+Ɵ）
このように、式は次のとおりです。
z k + 1 = r k + 1（cos（kƟ+Ɵ）+ i * sin（kƟ+Ɵ））
z k + 1 = r k + 1（cos + i * sin）。
したがって、n = k + 1に対して結果が真であることを示すことができます。数学的帰納法の原理により、結果はすべての正の整数に当てはまると結論付けられます。つまり、n≥1です。
負の整数
Moivreの定理はn≤0の場合にも適用されます。負の整数«n»について考えてみましょう。その場合、「n」は「-m」、つまりn = -mと書くことができます。「m」は正の整数です。したがって：
（cosƟ+ i * sinƟ）n =（cosƟ+ i * sinƟ）-m
指数«m»を正の方法で取得するには、式を逆に記述します。
（cosƟ+ i * sinƟ）n = 1÷（cosƟ+ i * sinƟ）m
（cosƟ+ i * sinƟ）n = 1÷（cosmƟ+ i * sinmƟ）
ここで、z = a + b * iが複素数の場合、1÷z = ab * iが使用されます。したがって：
（cosƟ+ i * sinƟ）n = cos（mƟ）-i * sin（mƟ）。
cos（x）= cos（-x）および-sen（x）= sin（-x）を使用すると、次のようになります。
（cosƟ+ i * sinƟ）n =
（cosƟ+ i * sinƟ）n = cos（-mƟ）+ i * sin（-mƟ）
（cosƟ+ i * sinƟ）n = cos（nƟ）-i * sin（nƟ）。
したがって、定理は「n」のすべての整数値に適用されると言えます。
解決された演習
正のパワーの計算
極形式で複素数を使用する演算の1つは、これらの2つによる乗算です。その場合、モジュールが乗算され、引数が追加されます。
2つの複素数z 1と z 2があり、（z 1 * z 2）2を計算する場合は、次の手順に従います。
z 1 z 2 = *
分配特性が適用されます：
Z 1、Z 2 = R 1 R 2（ƟCOS 1 * ƟCOS 2 + I * ƟCOS 1 * I *罪Ɵ 2 + I *罪Ɵ 1 * ƟCOS 2 + I 2 *罪Ɵ 1 *罪Ɵ 2）。
それらはグループ化され、表現の共通要素として「i」という用語を使用します。
z 1 z 2 = r 1 r 2
i 2 = -1なので、次の式で置き換えられます。
z 1 z 2 = r 1 r 2
実数は実数に、虚数は虚数に再グループ化されます。
z 1 z 2 = r 1 r 2
最後に、三角関数のプロパティが適用されます。
z 1 z 2 = r 1 r 2。
結論として：
（z 1 * z 2）2 =（r 1 r 2）2
= r 1 2 r 2 2。
演習1
z =-2 -2iの場合、複素数を極形式で記述します。次に、Moivreの定理を使用して、z 4を計算します。
解決
複素数z = -2 -2iは、z = a + biの長方形の形で表されます。ここで、
a = -2。
b = -2。
極形式がz = r（cosƟ+ i * sinƟ）であることを知っているので、係数 "r"の値と引数 "Ɵ"の値を決定する必要があります。r =√（a²+b²）なので、指定された値が置き換えられます：
r =√（a²+b²）=√（（-2）²+（-2）²）
=√（4 + 4）
=√（8）
=√（4 * 2）
=2√2。
次に、«Ɵ»の値を決定するために、次の式で示される長方形の形状が適用されます。
tanƟ= b÷a
tanƟ=（-2）÷（-2）= 1。
tan（Ɵ）= 1であり、<0があるため、次のようになります。
Ɵ= arctan（1）+Π。
=Π/ 4 +Π
=5Π/ 4。
«r»と«Ɵ»の値はすでに取得されているため、複素数z = -2 -2iは、値を代入することで極座標形式で表すことができます。
z =2√2（cos（5Π/ 4）+ i * sin（5Π/ 4））。
次に、Moivreの定理を使用してz 4を計算します。
z 4 =2√2（cos（5Π/ 4）+ i * sin（5Π/ 4））4
= 32（cos（5Π）+ i * sin（5Π））。
演習2
極座標形式で表現して、複素数の積を求めます。
z1 = 4（cos 50 o + i * sin 50 o）
z2 = 7（cos 100 o + i * sin 100 o）。
次に（z1 * z2）²を計算します。
解決
最初に、指定された数値の積が形成されます。
z 1 z 2 = *
次に、モジュールが互いに乗算され、引数が追加されます。
z 1 z 2 =（4 * 7）*
式は単純化されています：
z 1 z 2 = 28 *（cos 150 o +（i * sin 150 o）。
最後に、Moivreの定理が適用されます。
（z1 * z2）²=（28 *（cos 150 o +（i * sin 150 o））²= 784（cos 300 o +（i * sin 300 o））
負の累乗の計算
2つの複素数z 1および z 2を極形式で除算するために、係数が除算され、引数が減算されます。したがって、商はz 1 ÷z 2であり、次のように表されます。
z 1 ÷z 2 = r1 / r2（）。
前のケースと同様に、（z1÷z2）³を計算する場合は、最初に除算が実行され、次にモアレの定理が使用されます。
演習3
サイコロ：
z1 = 12（cos（3π/ 4）+ i * sin（3π/ 4））、
z2 = 4（cos（π/ 4）+ i * sin（π/ 4））、
（z1÷z2）calculateを計算します。
解決
上記の手順に従って、次のことを結論付けることができます。
（z1÷z2）³=（（12/4）（cos（3π/ 4-π/ 4）+ i * sin（3π/ 4-π/ 4）））³
=（3（cos（π/ 2）+ i * sin（π/ 2）））³
= 27（cos（3π/ 2）+ i * sin（3π/ 2））。
参考文献
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- クラウチャー、M。（nd）。MoivreのTrig IDの定理から。Wolframデモンストレーションプロジェクト。
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