二項定理は、どのようにフォーム（+ bの）の発現を開発するために教えてくれる式でnは、いくつかの自然数nについて。二項式は、（a + b）のような2つの要素の合計にすぎません。それはまた、私たちは、によって与えられた任期を知ることができますk個の B のn-kのそれに付随する係数であるもの。
この定理は、イギリスの発明家、物理学者、数学者のアイザック・ニュートン卿によるものです。しかし、その存在が中東ではすでに1000年頃に知られていることを示すさまざまな記録が見つかりました。
組み合わせ数
二項定理は数学的に次のように伝えます。
この式では、aとbは実数で、nは自然数です。
デモを行う前に、必要な基本的な概念をいくつか見てみましょう。
kのnの組み合わせ数または組み合わせは、次のように表されます。
この形式は、n個の要素のセットからk個の要素を持つサブセットをいくつ選択できるかを示します。その代数式は次の式で与えられます。
例を見てみましょう：7つのボールのグループがあり、そのうちの2つが赤で残りが青であるとします。
それらを連続して配置する方法をいくつか知りたいのです。1つの方法は、2つの赤を1番目と2番目の位置に配置し、残りのボールを残りの位置に配置することです。
前のケースと同様に、赤いボールにそれぞれ最初と最後の位置を指定し、他のボールを青いボールで占有することができます。
次に、組み合わせ番号を使用することで、ボールを一列に配置する方法を数える効率的な方法です。各位置を次のセットの要素として見ることができます：
次に、2つの要素のサブセットを選択するだけです。これらの要素のそれぞれは、赤いボールが占める位置を表します。この選択は、次の関係によって行うことができます。
このように、これらのボールを注文する方法は21通りあります。
この例の一般的な考え方は、二項定理を証明するのに非常に役立ちます。特定のケースを見てみましょう。n= 4の場合、（a + b）4になります。
この製品を開発すると、4つの要素（a + b）のそれぞれの1つの要素を乗算することによって得られた項の合計が残ります。したがって、次の形式の用語があります。
a 4という形で項を取得したい場合は、次のように乗算する必要があります。
この要素を取得する方法は1つしかないことに注意してください。しかし、形a 2 b 2の項を探すとどうなりますか？「a」と「b」は実数であり、したがって、可換則が有効であるため、この項を取得する1つの方法は、矢印で示されているようにメンバーを掛けることです。
これらすべての操作を実行することは通常やや退屈ですが、「a」という用語を4つの要素のセットから2つの「a」を選択する方法の数を知りたい組み合わせとして見る場合、前の例のアイデアを使用できます。したがって、次のようになります。
したがって、式（a + b）4の最終展開では、正確に6a 2 b 2になることがわかります。他の要素に同じアイデアを使用するには、次のことを行う必要があります。
次に、以前に取得した式を追加すると、次のようになります。
これは、 "n"が任意の自然数である一般的なケースの正式な証明です。
デモンストレーション
（a + b）nを展開して残された項はa k b n-kの形式であり、k = 0,1、…、n であることに注意してください。前の例のアイデアを使用して、«n»因子の«a»変数を選択する方法があります：
このように選択すると、nk変数 "b"が自動的に選択されます。これから次のようになります。
例
（a + b）5を考えると、その開発はどうなるでしょうか？
二項定理によって、
完全展開を行わずに特定の項の係数が何であるかを知りたい式がある場合、二項定理は非常に役立ちます。例として、次の未知数を取ることができます：（x + y）16の展開におけるx 7および9の係数は何ですか？
二項定理により、係数は次のようになります。
別の例は、（3x-7y）13の展開におけるx 5および8の係数は何ですか？
まず、便利な方法で式を書き換えます。これは：
次に、二項定理を使用して、求める係数は、k = 5のときです。
この定理の別の使用例は、次に説明するようないくつかの一般的なアイデンティティの証明です。
アイデンティティ1
«n»が自然数の場合、次のようになります。
証明のために、«a»と«b»の両方が1の値を取る二項定理を使用します。
このようにして、最初のアイデンティティを証明しました。
アイデンティティ2
「n」が自然数の場合、
二項定理によって、
別のデモ
帰納法とパスカルの恒等式を使用して、二項定理の異なる証明を作成できます。これにより、«n»と«k»がn≥kを満たす正の整数である場合、次のようになります。
誘導証明
まず、帰納的ベースが成り立つことを確認しましょう。n = 1の場合：
実際、それが満たされていることがわかります。ここで、次のようにn = jとします。
n = j + 1の場合、次のことが当てはまることを確認します。
したがって、次のことを行う必要があります。
仮説により、次のことがわかります。
次に、配布プロパティを使用します。
続いて、それぞれの合計を展開すると、次のようになります。
これで、便利な方法でグループ化すると、次のようになります。
パスカルのアイデンティティを使用して、私たちは持っています：
最後に、次のことに注意してください。
したがって、自然数に属するすべての "n"について二項定理が成り立つことがわかり、これで証明は終了します。
好奇心
組み合わせ数（nk）は、二項（a + b）nの展開に現れる係数であるため、二項係数とも呼ばれます。
Isaac Newtonは、指数が実数である場合のこの定理を一般化しました。この定理は、ニュートンの二項定理として知られています。
すでに古代には、この結果はn = 2の特定のケースで知られていました。このケースはユークリッドの要素で述べられています。
参考文献
- ジョンソンボー・リチャード。離散数学。PHH
- ケネス ローゼン：離散数学とその応用。SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DEESPAÑA。
- Seymour Lipschutz博士、Marc Lipson。離散数学。マグローヒル。
- ラルフ・P・グリマルディ。離散および組み合わせ数学。Addison-Wesley Iberoamericana
- グリーンスタールイス。。離散および組み合わせ数学アントロポス