算術の基本定理は、1より大きい自然数は素数の積として分解できると述べています-一部は繰り返すことができます-この形式はその数に対して一意ですが、因子の順序は異なる場合があります。
素数pは、正の約数として自分自身と1のみを認めるものであり、次の数は素数です：2、3、5、7、11、13など。数値1は除数が1つしかないため、素数とは見なされません。
図1.ユークリッド（左）は、彼の著書である要素（紀元前350年）で算術の基本定理を証明しました。最初の完全な証明は、カールF.ガウス（1777-1855）（右）によるものです。出典：ウィキメディア・コモンズ。
その一部として、上記に準拠しない数は、4、6、8、9、10、12、14などの複合数と呼ばれます。たとえば、数10を考えてみましょう。すぐに、それが次の積として分解されることがわかります。 2と5：
10 = 2×5
2と5はどちらも、実質的には素数です。定理は、これは任意の数nで可能であると述べています。
ここで、p 1、p 2、p 3 …p rは素数で、k 1、k 2、k 3、…k rは自然数です。したがって、素数は、乗算を通じて自然数が構築されるビルディングブロックとして機能します。
算術の基本定理の証明
すべての数が素因数に分解できることを示すことから始めます。は自然数n> 1、素数または合成です。
たとえば、n = 2の場合、2 = 1×2と表現できます。これは素数です。同様に、次の番号に進みます。
3 = 1×3
4 = 2×2
5 = 1×5
6 = 2×3
7 = 1×7
8 = 2×2×2
このようにして、n -1に達するまですべての自然数を分解します。次の番号でそれができるかどうか見てみましょう：n。
nが素数の場合、n = 1×nとして分解できますが、nが複合であり、論理的にnより小さい除数dがあるとします。
1 <d <n。
n / d = p 1で、p 1が素数の場合、nは次のように記述されます。
n = p 1 .d
dは素数である場合にはこれ以上やるするのはありませんが、そうでない場合は、そこに数nが2以下これよりDの除数であると：nは2 <D、dはn個の積として書くことができるように、2別で素数p 2：
d = p 2 n 2
元の数nを代入すると、次のようになります。
n = p 1 .p 2 .n 2
ここで、n 2も素数ではなく、n 3 <n 2 <n 1 <n となるような除数n 3による素数p 3の積として書き込みます。
n 2 = p 3 .n 3 →n = p 1 p 2 p 3 .n 3
取得するまで、この手順を有限回数繰り返します。
n = p 1 .p 2 .p 3 …p r
これは、素数の積として、2からnまでのすべての整数を分解できることを意味します。
素因数分解の一意性
次に、因子の順序を除いて、この分解が一意であることを確認します。nは次の2つの方法で記述できるとします。
n = p 1 .p 2 .p 3 …p r = q 1. q 2 .q 3 …..q s（r≤s ）
もちろん、q 1、q 2、q 3 …も素数です。p 1は除算されるので（q 1. q 2 .q 3 …..q s）、p 1は「q」のいずれかに等しいため、どちらでもかまいません 。したがって、p 1 = q 1と言えます。我々は、p nによって除算1及び得ます。
p 2 .p 3 …p r = 。q 2 .q 3 …..q s
すべてをp rで除算するまでこの手順を繰り返し、次に以下を取得します。
1 = q r + 1 …q s
ただし、r <sの場合、r = sの場合に限り、q r + 1 …q s = 1に到達することはできません。r = sであることを認めることにより、「p」と「q」が同じであることも認められます。したがって、分解は一意です。
用途
前に述べたように、素数は、必要に応じて、数字の原子とその基本的な構成要素を表します。したがって、算術の基本定理には多数のアプリケーションがあり、最も明白です。大きな数を小さな数の積として表すと、より簡単に処理できます。
同様に、最大公倍数（LCM）と最大公約数（GCF）を見つけることができます。これは、分数の合計をより簡単にしたり、大きな数の根を見つけたり、根を使って操作したり、合理化して解くのに役立つ手順です。非常に多様な性質のアプリケーションの問題。
さらに、素数は非常に謎めいています。それらのパターンはまだ認識されておらず、どのパターンが次になるかを知ることはできません。これまでで最も大きいのはコンピューターによって検出され、24,862,048桁ですが、新しい素数は毎回出現頻度が低くなります。
自然界の素数
アメリカ合衆国の北東部に住むセミ、シカディドまたはセミは、13年または17年の周期で出現します。どちらも素数です。
このようにして、セミは他の出生期間を持つ捕食者や競争相手との一致を避け、同じ年に一致しないため、異なる種類のセミが互いに競合することもありません。
図2.米国東部のMagicicada cicadaは、13〜17年ごとに出現します。出典：Pxfuel。
素数とオンラインショッピング
暗号化では素数を使用して、インターネットでの購入時にクレジットカードの詳細を秘密にします。このようにして、購入者が紛失したり、悪意のある人々の手に落ちたりすることなく、正確に店舗に届くデータ。
どうやって？カード上のデータは、素数の積として表すことができるNの数でエンコードされます。これらの素数はデータが明らかにする鍵ですが、それらは公に知られていません、それらはそれらが向けられているウェブ上でのみデコードすることができます。
数が小さい場合は数に分解するのは簡単な作業ですが（解決済みの演習を参照）、この場合、100桁の素数がキーとして使用されます。これを掛けると、より大きな数が得られ、詳細な分解には膨大な作業が伴います。 。
解決された演習
-演習1
1029を素因数に分解します。
解決
1029は3で割り切れる。これは、その数字を追加するときに合計が3の倍数であるために知られている。1+ 0 + 2 + 9 = 12
1029 3
343
1029 = 3×343
一方、343 = 7 3の場合：
1029 = 3×7 3 = 3×7×7×7
3と7はどちらも素数なので、これは1029の分解です。
-演習2
三項x 2 + 42x + 432を因数分解します。
解決
三項式は（x + a）の形式に書き直されます。（x + b）そして、次のようなaとbの値を見つける必要があります：
a + b = 42; ab = 432
数432は素因数に分解され、そこから適切な組み合わせが試行錯誤によって選択されるため、追加された因数は42になります。
432 = 2 4 ×3 3 = 2×3 3 ×2 3 = 2 4 ×3 2 ×3 =…
ここからは、432を書く可能性がいくつかあります。
432 = 16×27 = 24×18 = 54×8 = 6×72…。
そして、それらのすべては、素因数の間で積を組み合わせることによって見つけることができますが、提案された演習を解くための唯一の適切な組み合わせは、次のとおりです。
x 2 + 42x + 432 =（x + 24）。（x +18）
参考文献
- Baldor、A。1986。理論上の実用的な算術。CompañíaCultural Editora de Textos Americanos SA
- BBCワールド。自然の隠されたコード。リカバリ元：bbc.com。
- マヌエルデレオン素数：インターネットの保護者。回収元：blogs.20minutos.es。
- UNAM。数論I：算術の基本定理。復元：teoriadenumeros.wikidot.com。
- ウィキペディア。算術の基本定理。回復元：es.wikipedia.org。