- プロパティ
- 存在
- フーリエ変換の線形性
- 導関数のフーリエ変換
- フーリエ変換微分
- 翻訳のフーリエ変換
- フーリエ変換の変換
- スケールグループのフーリエ変換
- 対称
- たたみ込み積のフーリエ変換
- 継続性と無限に陥る
- フーリエ変換とは何ですか？
- フーリエ級数
- フーリエ級数の他の形式
- -期間2Lの関数に関するフーリエ級数
- -奇数および偶数関数のフーリエ級数
- -フーリエ級数の複雑な表記
- 用途
- 基本的なソリューションの計算
- 信号理論
- 例
- 例1
- 例2
- 提案された演習
- 参考文献
フーリエ変換積分変換のファミリーに属する積分機能を指向分析妥当方法です。これは、Cos（t）およびSen（t）に関する関数f（t）の再定義で構成されています。
これらの関数の三角関数のアイデンティティは、それらの導出および反導出特性とともに、次の複雑な関数を通じてフーリエ変換を定義するのに役立ちます。
これは、式が意味をなす限り、つまり、不適切な積分が収束している場合に当てはまります。代数的に、フーリエ変換は線形同型であると言われています。
フーリエ変換で使用できるすべての関数は、定義されたパラメーターの外側にnullを示す必要があります。
プロパティ
ソース：pexels
フーリエ変換は、次のプロパティを満たします。
存在
実数Rで定義された関数f（t）におけるフーリエ変換の存在を検証するには、次の2つの公理が満たされなければなりません。
- f（t）はすべてのRについて区分的に連続です
- f（t）はRで可積分
フーリエ変換の線形性
M（t）とN（t）を、定数aとbを持つ、明確なフーリエ変換を持つ任意の2つの関数とします。
F（z）= a F（z）+ b F（z）
これは、同じ名前の積分の線形性によってもサポートされています。
導関数のフーリエ変換
すべての実数において連続的で積分可能な関数fがあります。ここで、
そしてf（f '）の導関数は連続的であり、R全体にわたって区分的に定義されます。
導関数のフーリエ変換は、次の式による部品による積分によって定義されます。
F（z）= iz F（z）
より高次の導出では、それは同種の方法で適用され、すべてのn 1に対して次のようになります。
F（z）=（iz）n F（z）
フーリエ変換微分
すべての実数において連続的で積分可能な関数fがあります。ここで、
翻訳のフーリエ変換
セットSに属するすべてのθおよびセットS 'に属するTについて、次のようになります。
F = e -iay FF = e -iax F
τベクトルaの翻訳作業などの作業。
フーリエ変換の変換
セットSに属するすべてのθおよびセットS 'に属するTについて、次のようになります。
τ F = Fは、 τ F = Fを
Rに属するすべての
スケールグループのフーリエ変換
セットSに属するすべてのθについて。セットS 'に属するT
Rに属するλ- {0}には次のものがあります。
F =（1 /-λ-）F（ y / λ ）
F =（1 /-λ-）F（y /λ ）
fが連続的で明確に積分可能な関数である場合、a> 0です。次に：
F（z）= （1 / a）F（z / a）
この結果を示すために、変数の変更を進めることができます。
T→+の場合、s = at→+∞
T→-の場合、s = at→-∞
対称
フーリエ変換の対称性を研究するには、パーセバルの同一性とプランシェレルの式を検証する必要があります。
Sに属するθとδがあります。そこから、次のように推定できます。
取得
1 /（2π）d { F、F }パーセバル恒等式
1 /（2π）d / 2 - F - L 2 R d Plancherel式
たたみ込み積のフーリエ変換
ラプラス変換と同様の目的を追求して、関数のたたみ込みはそれらのフーリエ変換の間の積を指します。
2つの有界で定義された完全に積分可能な関数として、fとgがあります。
F（f * g）= F（f）。F（g）
F（f）。F（g）= F（f。G）
継続性と無限に陥る
フーリエ変換とは何ですか？
微分式を可積分多項式の形で表現し、派生式をパワー要素に変換しながら、主に方程式を大幅に簡略化します。
結果の最適化、変調、およびモデリングでは、標準化された表現として機能し、数世代後のエンジニアリングの頻繁なリソースになります。
フーリエ級数
これらは、コサインとサインで定義されたシリーズです。これらは、一般的な周期関数での作業を容易にするのに役立ちます。適用すると、常微分方程式や偏微分方程式を解く手法の一部になります。
フーリエ級数は、テイラー級数表現を持たない周期的な不連続関数を開発するため、テイラー級数よりもさらに一般的です。
フーリエ級数の他の形式
フーリエ変換を分析的に理解するには、フーリエ級数をその複雑な表記法で定義できるようになるまで、フーリエ級数を見つけることができる他の方法を検討することが重要です。
-期間2Lの関数に関するフーリエ級数
多くの場合、フーリエ級数の構造を、間隔がp = 2L> 0である周期関数に適合させる必要があります。
-奇数および偶数関数のフーリエ級数
関数の対称的な特性を利用するときに利点を提供する間隔が考慮されます。
fが偶数の場合、フーリエ級数はコサインの系列として確立されます。
fが奇数の場合、フーリエ級数は一連の正弦として確立されます。
-フーリエ級数の複雑な表記
フーリエ級数の展開可能性の要件をすべて満たす関数f（t）がある場合、その複素表記を使用して区間内でそれを表すことができます。
用途
ソース：pexels
基本的なソリューションの計算
フーリエ変換は、係数が一定の線形タイプの偏微分方程式の研究において強力なツールです。それらは、境界のないドメインを持つ関数にも同様に適用されます。
ラプラス変換と同様に、フーリエ変換は偏微分関数を非常に操作が簡単な常微分方程式に変換します。
熱方程式のコーシー問題は、熱の核またはディリクレの核関数が生成されるフーリエ変換の頻繁な適用の分野を示します。
基本解の計算に関して、フーリエ変換を見つけることが一般的である次のケースが提示されます：
信号理論
このブランチでフーリエ変換を適用する一般的な理由は、より扱いやすい信号の無限重ね合わせとしての信号の特徴的な分解によるところが大きいです。
音波でも電磁波でもかまいませんが、フーリエ変換はそれを単純な波の重ね合わせで表現します。この表現は電気工学では非常に頻繁です。
一方、信号理論の分野におけるフーリエ変換の適用例は次のとおりです。
例
例1
次の式のフーリエ変換を定義します。
次のように表すこともできます。
F（t）= Sen（t）
矩形パルスが定義されています：
p（t）= H （t + k） -H （t-k）
フーリエ変換は、変調定理に似た次の式に適用されます。
f（t）= p（t）Sen（t）
ここで：F = （1/2）i
また、フーリエ変換は次のように定義されます。
F = （1/2）i
例2
式のフーリエ変換を定義します。
f（h）は偶関数であるため、
部品による統合は、次のように変数とその微分を選択することによって適用されます
u =罪（zh）du = z cos（zh）dh
DV = H（E -h）2 、V =（E -h）2 /2
あなたの代わりに
微積分の基本定理の下で評価した後
1次微分方程式に関する事前知識を適用すると、式は次のように表されます。
Kを取得するには、
最後に、式のフーリエ変換は次のように定義されます。
提案された演習
- 式W /（1 + w 2）の変換を取得する
参考文献
- Duoandikoetxea Zuazo、J.、フーリエ解析。アディソン–ウェズリーイベロアメリカーナ、マドリード自治大学、1995年。
- ライオンズ、JL、数学分析および科学技術の数値的方法。スプリンガー– 1990年。
- Lieb、EH、Gaussianカーネルには、Gaussian Maximizerしかありません。発明する。数学。102、179から208、1990。
- Dym、H.、McKean、HP、Fourierシリーズおよび積分。アカデミックプレス、ニューヨーク、1972年。
- シュワルツ、L。、テオリデディストリビューション。ヘルマン編、パリ、1966年。