ラプラス変換：定義、履歴、およびその目的 - 数学 - 2025

ラプラス変換大きな理論的関心のあることに加えて、それはから来る問題を解決するための簡単な方法を提供するので、他の科学領域のうち、工学、数学、物理の研究では、近年では非常に重要でてきました科学と工学。

もともとラプラス変換は、確率理論に関する研究でピエールシモンラプラスによって提示され、当初は純粋に理論的に関心のある数学的対象として扱われていました。

現在のアプリケーションは、電磁理論の方程式の研究でHeavisideが使用する「操作規則」に正式な正当性を与えようとしたときにさまざまな数学者が発生します。

定義

fをt≥0に対して定義された関数とします。ラプラス変換は次のように定義されます。

ラプラス変換は、前の積分が収束した場合に存在すると言われ、そうでなければラプラス変換が存在しないと言われます。

一般に、小文字は変換される関数を示すために使用され、大文字はその変換に対応します。このようにして、次のようになります。

例

定数関数f（t）= 1を考えます。その変換は次のとおりです。

積分が収束するとき、つまりs> 0になるとき。それ以外の場合、s <0のとき、積分は発散します。

g（t）= tとします。そのラプラス変換は、

パーツごとに統合し、tが無限大になり、s> 0になるときにte ^-stが0になる傾向があることを知ることにより、前の例と合わせて、次のようになります。

変換が存在する場合と存在しない場合があります。たとえば、関数f（t）= 1 / tの場合、ラプラス変換を定義する積分は収束しないため、変換は存在しません。

関数fのラプラス変換が存在することを保証するのに十分な条件は、fがt≥0で区分的に連続であり、指数次数であることです。

関数は、t≥0の場合は区分的に連続しているといいます。a> 0の任意の区間の場合、有限数の点t _kがあり、fは不連続性を持ち、各サブ区間で連続しています。

一方、次のような実定数M> 0、c、T> 0がある場合、関数は指数次数cであると言います。

例として、-t ^2- <e ^3t for all t> 0であるため、f（t）= t ²は指数オーダーであることがわかります。

正式には、次の定理があります。

定理（存在の十分条件）

fがt> 0の部分連続関数で指数次数cの場合、s> cのラプラス変換が存在します。

これは十分条件であることに注意することが重要です。つまり、これらの条件を満たさない関数があり、そのラプラス変換が存在する場合でさえある可能性があります。

この例は、関数f（t）= t ^{-1/2です。}これは、^t≥0に対して^区分的に連続ではありませんが、そのラプラス変換は存在します。

いくつかの基本的な関数のラプラス変換

次の表は、最も一般的な関数のラプラス変換を示しています。

歴史

ラプラス変換の名前は、1749年に生まれて1827年に亡くなったフランスの数学者であり理論的な天文学者であるピエールシモンラプラスに由来します。彼の名声は、彼がフランスのニュートンとして知られているほどでした。

1744年にレナード・オイラーは彼の研究を形式との積分に捧げました

常微分方程式の解として、彼はすぐにこの調査を放棄しました。その後、オイラーを高く評価したジョセフルイスラグランジュもこれらのタイプの積分を調査し、それらを確率論に関連付けました。

1782年、ラプラス

1782年にラプラスは微分方程式の解などの積分を研究し始め、歴史家によれば、1785年に問題を再定式化することを決定しました。

確率論の分野に導入されたので、それは当時の科学者にはほとんど興味がなく、理論的にのみ興味のある数学的対象と見なされていました。

オリバーヘビサイド

19世紀半ばに、英語のエンジニアOliver Heavisideが微分演算子が代数変数として扱うことができることを発見したので、ラプラス変換はそれらの最新のアプリケーションを変換します。

オリバーヘビサイドは1850年にロンドンで生まれ、1925年に亡くなったイギリスの物理学者、電気技師、および数学者でした。振動の理論に適用される微分方程式の問題を解こうとして、ラプラスの研究を使用しながら、彼はラプラス変換の最新のアプリケーション。

ヘビサイドによって示された結果は当時の科学界全体に急速に広まりましたが、彼の研究は厳密ではなかったため、より伝統的な数学者からすぐに批判されました。

しかし、物理学の方程式を解く上でのHeavisideの仕事の有用性により、彼の手法は物理学者やエンジニアに人気がありました。

これらの挫折にもかかわらず、数十年に及ぶ試みの失敗の後、20世紀の初めに、ヘビサイドによって与えられた運用ルールに厳密な正当化が与えられる可能性があります。

これらの試みは、特にブロムウィッチ、カーソン、ファンデルポールなどのさまざまな数学者の努力のおかげで実を結びました。

プロパティ

ラプラス変換のプロパティの中で、次のものが目立ちます。

直線性

c1とc2を定数、f（t）関数とg（t）関数をラプラス変換がそれぞれF（s）とG（s）とすると、次のようになります。

この特性のため、ラプラス変換は線形演算子であると言われています。

例

最初の翻訳定理

それが起こった場合：

また、「a」は任意の実数なので、次のようになります。

例

cos（2t）= s /（s ^ 2 + 4）のラプラス変換なので、次のようになります。

二次翻訳定理

はい

そう

例

f（t）= t ^ 3の場合、F（s）= 6 / s ^ 4。したがって、

はG（s）= 6e ^-2s / s ^ 4

スケール変更

はい

そして 'a'は非ゼロの実数であり、

例

f（t）= sin（t）の変換はF（s）= 1 /（s ^ 2 + 1）なので、次のようになります。

ラプラスの導関数の変換

f、f '、f' '、…、f ^（n）がt≥0で連続であり、指数次数であり、f ^（n）（t）がt≥0で区分的に連続である場合、

積分のラプラス変換

はい

そう

tによる乗算

私たちがする必要がある場合

そう

tによる除算

私たちがする必要がある場合

そう

定期的な機能

fを周期T> 0の周期関数、つまりf（t + T）= f（t）とすると、

sが無限大になる傾向があるときのF（s）の動作

fが部分的に連続であり、指数次数であり、かつ

そう

逆変換

ラプラス変換を関数f（t）に適用すると、この変換を表すF（s）が得られます。同様に、f（t）はF（s）の逆ラプラス変換であり、次のように記述できます。

f（t）= 1およびg（t）= tのラプラス変換は、それぞれF（s）= 1 / sおよびG（s）= 1 / s ^2であることを知っているため、次のようになります。

いくつかの一般的な逆ラプラス変換は次のとおりです

さらに、逆ラプラス変換は線形です。つまり、

運動

探す

この課題を解決するには、関数F（s）を前の表のいずれかと一致させる必要があります。この場合、+ 1 = 5を取り、逆変換の線形性プロパティを使用すると、4で乗算および除算されます！取得

2番目の逆変換では、部分分数を適用して関数F（s）を書き換えてから、線形性のプロパティを取得します。

これらの例からわかるように、評価される関数F（s）は、表に示されている関数のいずれとも正確には一致しません。これらのケースでは、わかるように、適切なフォームに到達するまで関数を書き換えるだけで十分です。

ラプラス変換の応用

微分方程式

ラプラス変換の主な用途は、微分方程式を解くことです。

導関数の変換のプロパティを使用すると、

t = 0で評価されるn-1導関数のY。

この特性により、変換は、定数係数の微分方程式が関係する初期値問題を解くのに非常に役立ちます。

次の例は、ラプラス変換を使用して微分方程式を解く方法を示しています。

例1

次の初期値問題があるとします。

ラプラス変換を使用してソリューションを見つけます。

微分方程式の各メンバーにラプラス変換を適用します

導関数の変換の性質により、

すべての表現を開発し、Y（s）をクリアすることにより、

得られた方程式の右辺を部分分数を使って書き換えます

最後に、微分方程式を満たす関数y（t）を見つけることが目標です。逆ラプラス変換を使用すると、結果が得られます

例2

解決する

前のケースと同様に、方程式の両側に変換を適用し、項ごとに分離します。

このようにして、私たちは結果として

与えられた初期値で置き換え、Y（s）を解く

単純な分数を使用して、方程式を次のように書き直すことができます

そして、逆ラプラス変換を適用すると、結果が得られます

これらの例では、この方法は微分方程式を解くための従来の方法よりもはるかに優れていないと誤って結論付けているかもしれません。

ラプラス変換の利点は、パラメーターの変動を使用したり、不確定係数法のさまざまなケースを心配したりする必要がないことです。

また、この方法で初期値問題を解く場合は、当初から初期条件を使用しているため、特定の解を求めるために他の計算を行う必要はありません。

微分方程式のシステム

ラプラス変換は、次の例に示すように、同時常微分方程式の解を見つけるためにも使用できます。

例

解決する

初期条件では、x（0）= 8およびy（0）= 3です。

私たちがする必要がある場合

そう

解決は結果として私たちに与える

そして、私たちが持っている逆ラプラス変換を適用します

力学と電気回路

ラプラス変換は物理学において非常に重要であり、主に力学と電気回路に適用されます。

簡単な電気回路は次の要素で構成されています

スイッチ、バッテリーまたは電源、インダクター、抵抗器、コンデンサー。スイッチが閉じると、i（t）で表される電流が生成されます。コンデンサの電荷はq（t）で表されます。

キルヒホフの第2法則により、閉回路で電源Eによって生成される電圧は、各電圧降下の合計に等しくなければなりません。

電流i（t）は、コンデンサーの電荷q（t）にi = dq / dtによって関連付けられます。一方、各要素の電圧降下は次のように定義されます。

抵抗の両端の電圧降下はiR = R（dq / dt）です。

インダクタの両端の電圧降下はL（di / dt）= L（d ² q / dt ²）です。

コンデンサ両端の電圧降下はq / C

これらのデータと、キルヒホッフの第2法則を単純な閉回路に適用すると、システムを記述し、q（t）の値を決定できる2次微分方程式が得られます。

例

図に示すように、バッテリーEにはインダクター、コンデンサー、抵抗器が接続されています。インダクタは2ヘンリー、コンデンサは0.02ファラッド、抵抗は16オームです。時間t = 0で回路は閉じます。E = 300ボルトの場合、t> 0の任意の時点での電荷と電流を求めます。

この回路を記述する微分方程式は次のとおりです。

初期条件がq（0）= 0の場合、i（0）= 0 = q '（0）です。

ラプラス変換を適用すると、

そしてQ（t）を解く

次に、逆ラプラス変換を適用します

参考文献

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