斜面台形：プロパティ、数式、方程式、例 - 数学 - 2025

不等辺台形の互いに平行な2つが4つの辺を有する、異なる尺度の4つの内角を有する多角形です。

四辺形のABCDを以下に示します。ABとDCの辺は互いに平行です。台形であるためにはこれで十分ですが、内角α、β、γ、δはすべて異なるため、台形は斜角です。

図1.四辺形ABCDは、条件1によって台形になり、条件2によって斜面になります。出典：F. Zapata。

斜角台形の要素

最も特徴的な要素は次のとおりです。

-底面と側面：台形の平行な側面はその底面であり、平行でない2つの側面は側面です。

斜面台形では、底面の長さが異なり、側面の底面も異なります。しかしながら、斜角台形は、底部と同じ長さの横方向を持つことができます。

-中央値：横方向の中点を結ぶセグメントです。

-対角線：台形の対角線は、2つの反対側の頂点を結ぶ線分です。台形は、すべての四辺形と同様に、2つの対角線を持っています。斜角台形では長さが異なります。

その他の台形

斜面台形の他に、他の特定の台形があります。右の台形と二等辺台形です。

台形は、その角度の1つが直角の長方形であり、二等辺台形は、その辺の長さが同じです。

台形の形状は、航空機の翼の構成、テーブル、椅子の背もたれ、パッケージング、ハンドバッグ、テキスタイルプリントなどの日常品の形状など、設計および業界レベルで数多くの用途があります。

図2.台形形状は、飛行機の翼構成では一般的です。出典：ウィキメディア・コモンズ。

プロパティ

台形斜面の特性を以下に示します。その多くは、他の種類の台形にまで及びます。以下では、「台形」と呼ばれる場合、プロパティは、斜面を含むすべてのタイプに適用されます。

1.台形の中央値、つまり、非平行な辺の中点を結ぶ線分は、どの底にも平行です。

2.-台形の中央値の長さは、底辺の長さの半和であり、対角線を中点でカットします。

3.-台形の対角線は、底の商に比例する2つのセクションに分割する点で交差します。

4.-台形の対角線の2乗の合計は、その辺の2乗の合計にその底の2乗を加えたものに等しくなります。

5.-対角線の中点を結ぶ線分の長さは、底辺の差の半分に等しい。

6.-横の角度に隣接する角度は補足です。

7.-斜面台形では、その対角線の長さが異なります。

8.-台形は、底辺の合計が辺の合計に等しい場合にのみ、内接円周を持ちます。

9.-台形に内接円周がある場合、円周の中心にある頂点と、台形の辺の端を通る辺との角度は直線です。

10.-斜角台形には外接円周はありません。台形の唯一のタイプは二等辺です。

数式と方程式

台形の以下の関係は、次の図を参照してください。

1.- AE = EDおよびBF = FCの場合→EF-ABおよびEF-DC。

2.- EF =（AB + DC）/ 2つまり、m =（a + c）/ 2。

3. DI = IB = D ₁ /2、AG = GC = D ₂ /2です。

4.- DJ / JB =（c / a）同様にCJ / JA =（c / a）。

図3.台形の台形の中央値と対角線。出典：F. Zapata。

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB∙DC

同等に：

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a∙c

6.- GI =（AB-DC）/ 2

つまり、

n =（a-c）/ 2

7.-α+δ=180⁰およびβ+γ=180⁰

8.-α≠β≠γ≠δの場合、d1≠d2。

9.-図4は、内接円が刻まれた台形台形を示しています。この場合、次のことが当てはまります。

a + c = d + b

10.-中心Oの内接円が内接する斜面台形ABCDでは、以下も当てはまります。

∡AOD=∡BOC=90⁰

図4.台形の場合、その底辺の合計が側面の底辺の合計と等しいことが確認された場合、そこに内接する円周があります。出典：F. Zapata。

高さ

台形の高さは、底面の点から反対の底面（またはその延長）に垂直に伸びる線分として定義されます。

台形の高さはすべて同じ測定hであるため、ほとんどの場合、単語の高さはその測定を指します。要するに、高さはベース間の距離または間隔です。

高さhは、1つの辺の長さと、その辺に隣接する角度の1つを知ることで決定できます。

h = d Sen（α）= d Sen（γ）= b Sen（β）= b Sen（δ）

中央値

台形の中央値の測度mは、底の半和です。

m =（a + b）/ 2

対角線

d ₁ =√

d ₂ =√

台形の辺の長さがわかっている場合も計算できます。

d ₁ =√

d ₂ =√

境界

周長は、輪郭の全長、つまり、そのすべての辺の合計です。

P = a + b + c + d

範囲

台形の面積は、底辺の半和に高さを掛けたものです。

A = h∙（a + b）/ 2

また、中央値mと高さhがわかっている場合も計算できます。

A = m∙h

台形の辺の長さがわかっている場合、面積はヘロンの台形の公式を使用して決定できます。

A =∙√

ここで、sは半周長です：s =（a + b + c + d）/ 2。

斜角台形の他の比率

中央値と対角線の交点、および対角線の交点を通る平行線により、他の関係が生じます。

図5.斜角台形の他の関係。出典：F. Zapata。

-中央値EFの関係

EF =（a + c）/ 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-ベースKLに平行で、対角線の交点J を通るセグメントの関係

J∈KLでKL-AB-DCの場合、KJ = JL =（a∙c）/（a + c）

定規とコンパスを備えた斜面台形の構築

長さaとcの底が与えられ、ここでa> cyの長さbとdの辺があり、ここでb> dである場合、次の手順に従います（図6を参照）。

1.-ルールにより、メジャーABのセグメントが描画されます。

2.- A seおよびABマークポイントPからAP = cになるようにします。

3.-中心がPで半径がdのコンパスでは、弧が描かれます。

4.-中心が半径bのBに作成され、前のステップで描画された円弧を遮断する円弧が描画されます。Qを交点と呼びます。

図6.側面が指定された斜面台形の構成。出典：F. Zapata。

5.-中心をAにして、半径dの円弧を描きます。

6.- Qを中心にして、前の手順で描いた円弧と交差する半径cの円弧を描きます。カットオフポイントはRと呼ばれます。

7.-セグメントBQ、QR、RAは定規で描かれます。

8.- APQRは平行四辺形であるため、四辺形ABQRは斜面台形です。これはAB-QRを保証します。

例

次の長さはcmで表示されます：7、3、4、6。

a）それらを使用して、円に外接できる斜面台形を作成することが可能かどうかを判断します。

b）外周、面積、対角線の長さ、台形の高さ、および内接円の半径を見つけます。

- への解決策

長さ7と3のセグメントをベースとして使用し、長さ4と6のセグメントをサイドとして使用して、前のセクションで説明した手順を使用して、斜面台形を作成できます。

内接円があるかどうかを確認するために残りますが、プロパティ（9）を覚えています。

これは効果的にわかります。

7 + 3 = 4 + 6 = 10

その後、内接円周の存在条件が満たされます。

-ソリューションb

境界

周長Pは辺を追加することで得られます。ベースの合計は10になり、横方向のベースも合計されるため、境界は次のようになります。

P = 20センチ

範囲

エリアを決定するために、その側面のみが判明している関係が適用されます。

A =∙√

ここで、sは半周長です。

s =（a + b + c + d）/ 2。

私たちの場合、半周はs = 10 cmの価値があります。それぞれの値を代入した後：

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

残り：

A =√=（5/2）√63= 19.84cm²。

高さ

高さhは、次の式によって領域Aに関連付けられます。

A =（a + c）∙h / 2、これから高さをクリアすることで取得できます。

h = 2A /（a + c）= 2 * 19.84 / 10 = 3.988 cm。

内接円の半径

内接円の半径は高さの半分に等しい：

r = h / 2 = 1,984 cm

対角線

最後に、対角線の長さを見つけます。

d ₁ =√

d ₂ =√

私たちが持っている値を適切に置き換える：

d ₁ =√=√（36 + 21-7（20）/ 4）=√（22）

d ₂ =√=√（16 + 21-7（-20）/ 4）=√（72）

つまり、d ₁ = 4.69 cmおよびd ₂ = 8.49 cm

図7.内接円周の存在条件を満たす条件を満たす台形台形。出典：F. Zapata。

運動が解決されました

底辺AB = a = 7、CD = c = 3、および横角BC = b = 6、DA = d = 4の台形の内角を決定します。

解決

コサイン定理は、角度を決定するために適用できます。たとえば、角度∠A=αは、AB = a = 7、BD = d2 = 8.49、およびDA = d = 4の三角形ABDから決定されます。

この三角形に適用される余弦定理は次のようになります。

D ₂ ² = ² + D ² - 2∙A∙D∙のCos（α）、すなわち：

72 = 49 + 16-56∙Cos（α）。

解決すると、角度αの余弦が得られます。

Cos（α）= -1/8

つまり、α= ArcCos（-1/8）=97.18⁰です。

他の角度は同じ方法で取得され、それらの値は次のとおりです：

β=41.41⁰; γ=138.59⁰、最後にδ=82.82⁰。

参考文献

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