メッシュ解析：概念、方法、例 - 物理的 - 2025

メッシュ解析は、電気回路面を解くために使用される技術です。この手順は、回路電流の方法またはメッシュ（またはループ）電流の方法として文献に記載されている場合もあります。

このおよびその他の電気回路解析手法の基礎は、キルヒホッフの法則とオームの法則にあります。キルヒホッフの法則は、孤立したシステムの物理学における保存の2つの非常に重要な原則の表現です。つまり、電荷とエネルギーの両方が保存されます。

図1.回路は無数のデバイスの一部です。出典：Pixabay。

一方で、電荷は、運動中の電荷である電流に関連しています。一方、回路内のエネルギーは、電荷の移動を維持するために必要な仕事を担当するエージェントである電圧にリンクしています。

フラット回路に適用されるこれらの法則は、電流値または電圧値を取得するために解かなければならない一連の連立方程式を生成します。

方程式系は、システムの解を得るために行列式の計算を必要とするクラマーの法則などのよく知られた分析手法で解くことができます。

方程式の数に応じて、それらは関数電卓またはいくつかの数学ソフトウェアを使用して解かれます。オンラインで利用可能な多くのオプションもあります。

重要な用語

それがどのように機能するかを説明する前に、これらの用語を定義することから始めます：

ブランチ：回路の要素を含むセクション。

ノード：2つ以上のブランチを接続するポイント。

ループ：回路の閉じた部分であり、同じノードで開始および終了します。

Mesh：他のループを含まないループ（必須メッシュ）。

方法

メッシュ解析は、要素が直列、並列、または混合の方法で接続されている回路を解くために使用される一般的な方法です。つまり、接続のタイプが明確に区別されていない場合です。回路はフラットであるか、少なくともそれ自体を再描画できる必要があります。

図2.フラット回路と非フラット回路。出典：アレクサンダー、C。2006。電気回路の基礎。3番目。版。Mc Graw Hill。

各タイプの回路の例を上の図に示します。ポイントが明確になったら、まず、次のセクションで例として単純な回路にこの方法を適用しますが、最初にオームとキルヒホッフの法則を簡単に確認します。

オームの法則： Vを電圧、Rを抵抗、Iをオーム抵抗素子の電流とします。ここで、電圧と電流は正比例します。抵抗は比例定数です。

キルヒホッフの電圧の法則（LKV）：閉路が一方向にしか進んでいない場合、電圧の代数的合計はゼロです。これには、ソース、抵抗、インダクタ、またはコンデンサによる電圧が含まれます。：E = ∑ R _i。私

キルヒホッフの電流の法則（LKC）：入力電流には1つの符号が割り当てられ、別の電流には別の符号が割り当てられることを考慮して、任意のノードで電流の代数和はゼロです。このように：∑ I = 0。

現在のメッシュ方法では、キルヒホッフの現在の法則を適用する必要がないため、解く方程式が少なくなります。

-メッシュ分析を適用する手順

2メッシュ回路の方法から説明します。この手順は、より大きな回路に拡張できます。

図3. 2つのメッシュに配置された抵抗とソースの回路。出典：F. Zapata

ステップ1

各メッシュに独立した電流を割り当てて描画します。この例では、それらはI ₁とI ₂です。時計回りまたは反時計回りに描画できます。

ステップ2

キルヒホッフの張力の法則（LTK）とオームの法則を各メッシュに適用します。潜在的な下降には符号（-）が割り当てられ、上昇には符号（+）が割り当てられます。

メッシュabcda

ポイントaから始まり、電流の方向をたどると、バッテリーE1（+）が上昇し、R ₁（-）が下降し、次にR ₃（-）が下降する可能性があります。

同時に、抵抗R ₃も電流I ₂と交差しますが、反対方向であるため、上昇（+）を表します。最初の方程式は次のようになります。

次に、それが因数分解され、用語が再グループ化されます。

---------

-50 I ₁ + 10I ₂ = -12

これは2 x 2の連立方程式であるため、2番目の方程式に5を乗算して未知のI ₁を除去することにより、簡約によって簡単に解くことができます。

-50 I ₁ + 10 I ₂ = -12

すぐに、現在のI ₁は元の式のいずれかからクリアされます。

電流I ₂の負の符号は、メッシュ2の電流が、引き出された方向と反対方向に循環することを意味します。

各抵抗の電流は次のとおりです。

電流I ₁ = 0.16 A は抵抗R _1を流れる方向に流れ、抵抗R ₂は電流I ₂ = 0.41 Aが流れる方向と反対の方向に流れ、抵抗R ₃はi ₃ = 0.16-（ -0.41）A = 0.57 Aダウン。

クラマーの方法によるシステムソリューション

行列形式では、システムは次のように解くことができます。

ステップ1：Δを計算する

最初の列は、システムが最初に提案された順序を維持しながら、連立方程式の独立項に置き換えられます。

ステップ3：Iを計算する

ステップ4：Δを計算する

図4. 3メッシュ回路。出典：Boylestad、R。2011。Introductionto Circuit Analysis.2da。版。ピアソン。

解決

次の図に示すように、3つのメッシュ電流が任意の方向に描画されます。これで、メッシュは任意の点から開始されます。

図5.エクササイズ2のメッシュ電流。出典：F. Zapata、Boylestadから変更。

メッシュ1

-9100.I ₁ + 18-2200.I ₁ + 9100.I ₂ = 0

メッシュ3

方程式系

数は多いですが、関数電卓の助けを借りてすばやく解決できます。ここに表示されるように、未知数が現れない場所に方程式を順序付けてゼロを追加する必要があることに注意してください。

メッシュ電流は次のとおりです。

電流I ₂とI ₃は、負であることが判明したため、図に示す方向とは逆の方向に循環します。

各抵抗の電流と電圧の表

抵抗（Ω）	電流（アンペア）	電圧= IR（ボルト）
9100	I 1 -I 2 = 0.0012-（-0.00048）= 0.00168	15.3
3300	0.00062	2.05
2200	0.0012	2.64
7500	0.00048	3.60
6800	I 2 -I 3 = -0.00048-（-0.00062）= 0.00014	0.95

クラマーのルールソリューション

それらは数が多いため、科学表記法を使用して直接操作するのが便利です。

Iの計算₁

3 x 3行列式の色付きの矢印は、数値を検索する方法を示し、指定された値を乗算します。最初に、行列式Δの最初の角かっこを取得します。

（-11300）x（-23400）x（-10100）= -2.67 x 10 ¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

同じ行列式の2番目のブラケットをすぐに取得します。これは左から右に作用します（このブラケットの場合、図では色付きの矢印は描かれていません）。読者に確認してもらいます。

0 x（-23400）x 0 = 0

9100 x 9100 x（-10100）= -8.364 x 10 ¹¹

6800 x 6800 x（-11300）= -5.225 x 10 ¹¹

同様に、読者はまた、行列式Δの値を確認することができる₁。

重要：両方の括弧の間には常に負の符号があります。

最後に、電流I _1が得られるIを介して₁ =Δ ₁ /Δ

I _2の計算

手順は、I ₂を計算するために繰り返すことができます。この場合、行列式Δ2を計算します。行列式Δの₂番目の列は、独立項の列に置き換えられ、説明されている手順に従ってその値が求められます。

ただし、数値が大きいために面倒なので、特に関数電卓がない場合は、次の式で既に計算されているI ₁の値を代入して解決するのが最も簡単です。

I3の計算

I ₁とI ₂の値を手にすると、I _3の値は代入によって直接求められます。

参考文献

1. アレクサンダー、C。2006。電気回路の基礎。3番目。版。Mc Graw Hill。
2. Boylestad、R。2011。回路解析入門。2da。版。ピアソン。
3. Figueroa、D.（2005）。シリーズ：理工学のための物理学。ボリューム5.電気的相互作用。ダグラスフィゲロア（USB）によって編集されました。
4. García、L。2014。電磁気。2番目。版。サンタンデール工業大学。
5. シアーズ、ゼマンスキー。 2016.現代物理学と大学物理学。 14日。 Ed。Volume 2。