階乗リグ：定義、式、演習 - 物理的 - 2025

階乗リグは、力の乗算効果を有するプーリの配列から成る単純な機械です。このようにして、ロープの自由端に重量の一部に相当する荷重をかけるだけで、荷物を持ち上げることができます。

これは、2セットのプーリーで構成されています。1つはサポートに固定されており、もう1つは結果として生じる力を荷重に加えます。滑車はそれらを支える一般的な金属フレームに取り付けられています。

図1.階乗リグのスキーム。出典：Pixabay

図1は、それぞれ2つのプーリーの2つのグループで構成される階乗リグを示しています。これらのタイプのプーリー配置は、シリーズホイストまたはホイストとも呼ばれます。

階乗リギングの式

ケース1：モバイルおよび固定プーリー

この配置が作用する力を倍増する理由を理解するために、固定プーリーと可動プーリーで構成される最も単純なケースから始めます。

図2. 2滑車リグ。

図2では、プーリAがサポートによって天井に固定されています。プーリーAはその軸を中心に自由に回転できます。また、プーリーBには、プーリーシャフトにブラケットが取り付けられており、そこに荷重がかかります。プーリーBは、その軸を中心に自由に回転できることに加えて、垂直方向に移動する可能性があります。

平衡状態にあるとします。プーリーBに作用する力を考えます。プーリーBの軸は、下向きの総重量Pを支えます。これがプーリーBに対する唯一の力である場合、それは落下しますが、このプーリーを通過するロープも、上向きのT1とT2の2つの力を及ぼすことがわかります。

並進平衡が存在するためには、2つの上向きの力が、プーリーBの軸によって支えられている重量に等しくなければなりません。

T1 + T2 = P

しかし、プーリーBも回転平衡状態にあるため、T1 = T2になります。力T1とT2は、Tと呼ばれる弦に加えられた張力から生じます。

したがって、T1 = T2 = Tです。前の式に代入すると、次のようになります。

T + T = P

2T = P

これは、ロープにかかる張力が重量の半分にすぎないことを示しています。

T = P / 2

たとえば、荷重が100 kgの場合、ロープの自由端に50 kgの力を加えて、一定の速度で荷重を上げるだけで十分です。

ケース2：2つの可動プーリーと2つの固定プーリー

次に、それぞれ2つのプーリーを備えたサポートAとBの2つの配置で構成されるアセンブリに作用する応力と力を考えてみましょう。

図3. 2つの固定プーリーと2つの可動プーリーがあるリグにかかる​​力。

サポートBは垂直に移動する可能性があり、それに作用する力は次のとおりです。

-鉛直下向きの積荷の重量P。

-大きなプーリーに2つの張力、小さなプーリーに2つの張力。合計で4つの緊張があり、そのすべてが上向きです。

並進平衡が存在するためには、垂直に上向きの力は、値が下向きの負荷と等しい必要があります。つまり、次の条件を満たす必要があります。

T + T + T + T = P

つまり、4 T = P

そこから、ロープの自由端に加えられた力Tは、持ち上げたい負荷のために重量の4分の1に過ぎないということになります。T= P / 4。

電圧Tのこの値を使用すると、負荷を一定に保つか、一定の速度で上昇させることができます。この値よりも高い電圧が印加された場合、負荷は上向きに加速します。これは、負荷を停止させるために必要な状態です。

一般的なケース：n個の可動プーリーとn個の固定プーリー

前のケースで見られたことによると、可動アセンブリの各プーリーには、プーリーを通過するロープによって加えられる上向きの力がいくつかあります。しかし、この力は、自由端でロープに加えられた張力以外にはなり得ません。

そのため、可動アセンブリの各プーリーには、2Tに相当する上向きの垂直方向の力があります。しかし、可動アセンブリにはn個のプーリーがあるので、垂直に上向きの力の合計は次のようになります。

2 n T

垂直方向のバランスをとるためには、次のことが必要です。

2 n T = P

したがって、自由端に加えられる力は次のとおりです。

T = P /（2 n）

この場合、負荷に加えられた力Tは2 n倍に増加すると言えます。

たとえば、3つの固定プーリーと3つの可動プーリーを備えた階乗リグがある場合、数nは3に等しくなります。一方、荷重がP = 120 kgの場合、自由端に適用される力はT = 120 kgになります。 /（2 * 3）= 20 kg。

解決された演習

演習1

2つの固定プーリーと2つの可動プーリーで構成される階乗リグを考えてみましょう。ロープが耐えられる最大張力は60 kgです。配置できる最大荷重を決定します。

解決

荷物が静止しているとき、または一定速度で移動しているとき、その重量Pは、次の関係によってロープに加えられた張力Tに関連付けられます。

P = 2 n T

2つの可動プーリーと2つの固定プーリーを持つリグなので、n = 2です。

配置可能な最大荷重は、Tが可能な最大値（この場合は60 kg）のときに得られます。

最大荷重= 2 * 2 * 60kg = 240kg

演習2

荷重が加速度aで加速される2滑車の階乗リグで、ロープ張力と荷重の重量の関係を求めます。

解決

これまでに見られたことに対するこの例の違いは、システムのダイナミクスを考慮する必要があることです。したがって、要求された関係を見つけるためのニュートンの第二法則を提案します。

図4.階乗リグのダイナミクス。

図4では、ロープの張力Tによる力を黄色で描いています。ホイストの可動部分の総質量はMです。基準システムとして、最初の固定プーリーのレベルにある正の力を下向きにします。

Y1は最も低いプーリーシャフトの位置です。

ニュートンの第2法則を適用して、リグの可動部分の加速度a1を決定します。

-4 T + Mg = M a1

荷重の重量はP = Mg（gは重力加速度）であるため、上記の関係は次のように記述できます。

-4T + P = P（a1 / g）

特定の重量負荷Pが加速度a1で加速するときにロープにかかる張力を決定する場合、以前の関係は次のようになります。

T = P（1-a1 / g）/ 4

システムが静止しているか、一定の速度で動いている場合、a1 = 0であり、ケース2で取得したのと同じ式を復元することに注意してください。

演習3

この例では、エクササイズ1と同じリギングが使用され、同じロープが最大60 kgの張力を支えます。ロープの最大張力を使用して、一定の負荷が上昇し、静止状態から0.5秒で1 m /秒まで加速します。荷物の最大重量を見つけます。

解決

演習2で得られた式と、正の方向が垂直方向下向きである図4の参照システムを使用します。

負荷の加速度は、a1 =（-1 m / s-0 m / s）/ 0.5 s = -2 m / s ^ 2です。

キログラム力での荷重の重量は、

P = 4 T /（1-a1 / g）

P = 4 * 60 kg /（1 + 2 / 9.8）= 199.3 kg

これは、ロープが壊れることのない荷物の最大可能重量です。得られた値は、例1で得られた値よりも小さいことに注意してください。この例では、負荷の加速度がゼロである、つまり静止または一定速度であると想定されていました。

参考文献

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