重心：プロパティ、計算、例 - 物理的 - 2025

重心測定可能な大きさの本体のは、その重量が適用されると考えられる点です。したがって、これは静力学の主要な概念の1つです。

Elementary Physicsの問題の最初のアプローチは、すべてのオブジェクトが点質量のように動作する、つまり、オブジェクトに次元がなく、すべての質量が1つの点に集中していると仮定することです。これは、ボックス、自動車、惑星、または素粒子に有効です。このモデルは、粒子モデルと呼ばれます。

図1.ハイジャンプでアスリートが管理しているため、重心が体外にあります。出典：Pixabay

これはもちろん概算であり、多くのアプリケーションで非常にうまく機能します。任意のオブジェクトに含めることができる数千および数百万のパーティクルの個々の動作を考慮することは簡単な作業ではありません。

ただし、より現実に近い結果を得るには、物事の実際の次元を考慮する必要があります。私たちは一般的に地球の近くにいるので、あらゆる体に常に存在する力は正確には重量です。

重心を見つけるための考慮事項

体の大きさを考慮する場合、特にどこに体重をかけますか？任意の形状の連続オブジェクトがある場合、その重量は、構成する各粒子間に分配される力です。

これらの粒子をm ₁、m ₂、m ₃ …とします。それらのそれぞれは、対応する重力m ₁ g、m ₂ g、m ₃ g…を経験します。これらはすべて平行です。地球の重力場はほとんどの場合一定であると考えられているためです。オブジェクトは惑星のサイズに比べて小さく、表面に近いためです。

図2.オブジェクトの重量は分散質量です。出典：自作。

これらの力のベクトルの合計により、オブジェクトの重量が計算され、図では重心と呼ばれる重心と呼ばれる点に適用されます。重心は重心と一致します。次に、質量の中心は、すべての質量が集中していると見なすことができる点です。

結果として生じる重みは、Mgの大きさを持ちます。Mはオブジェクトの総質量で、もちろん、地球の中心に向かって垂直に向けられます。総和表記は、体の総質量を表すのに役立ちます。

重心は必ずしも質点と一致するとは限りません。たとえば、リングのCGはその幾何学的中心にあり、質量自体はありません。それでも、フープに作用する力を分析する場合は、この正確なポイントに重みを適用する必要があります。

オブジェクトが任意の形状である場合、それが均質であれば、その重心は、図の重心または重心を見つけることによって計算できます。

重心はどのように計算されますか？

原則として、重力場が均一であるため、重心（CG）と重心（cm）が一致する場合、cmを計算してそれに重みを適用できます。

2つのケースを考えてみましょう。1つ目は、質量分布が離散的であるケースです。つまり、前の例で行ったように、システムを構成する各質量をカウントして、番号iを割り当てることができます。

離散質量分布の質量中心の座標は次のとおりです。

当然のことながら、上記のように、すべての質量の合計はシステムMの総質量に等しくなります。

重心のベクトルr _cmまたは位置ベクトルを考慮すると、3つの方程式はコンパクトな形式に縮小されます。

そして、粒子が異なるサイズであり、それらを数えるために区別することができない連続的な質量分布の場合、合計は、問題のオブジェクトによって占められた体積にわたって作られる積分で置き換えられます：

ここで、rは微分質量dmの位置ベクトルであり、質量密度の定義は、体積微分dVに含まれる質量微分dmを表すために使用されています。

プロパティ

重心に関するいくつかの重要な考慮事項は次のとおりです。

-位置を確立するには参照システムが必要ですが、重心はオブジェクトのプロパティであるため、システムの選択に依存しません。

-オブジェクトに軸または対称平面がある場合、重心はその軸または平面上にあります。この状況を利用すると、計算時間を節約できます。

-オブジェクトに作用するすべての外力を重心に加えることができます。このポイントの動きを追跡すると、オブジェクトの動きの概要がわかり、その動作を簡単に調べることができます。

-静的平衡状態にある物体の重心を見つける

前の図のボディを静的平衡にしたいとします。つまり、Oになる可能性のある任意の回転軸を中心に並進または回転しません。

図3. O点に関する重りのトルクを計算するスキーム。

-解決済みの例

均一な材料の細い棒は、長さが6 mで重量が30 Nです。50Nのウェイトが左端に吊り下げられ、20 Nのウェイトが右端に吊り下げられています。検索：a）バーの平衡を維持するために必要な上向きの力の大きさ、b）アセンブリの重心。

解決

力図を次の図に示します。棒の重さは、その重心に適用され、幾何学的中心と一致します。考慮されているバーの唯一の寸法は、その長さです。これは、ステートメントが薄いと報告しているためです。

図4.バーの力の図。

バー+ウェイトシステムが並進平衡に留まるには、力の合計がゼロでなければなりません。力は垂直であり、符号+で上向き、符号-で下向きと考えると、次のようになります。

F- 50-20-30 N = 0

F = 100 N

この力は並進のバランスを保証します。システムの左端を通過する軸を基準に、すべての力のねじりモーメントを取得し、定義を適用します。

t = rx F

選択した点の周りのこれらすべての力のモーメントは、バーの平面に垂直です。

したがって：

バー+ウェイトセットの重心は、バーの左端から2.10メートルのところにあります。

重心との差

地球の重力場が対象となるオブジェクトのすべての点で一定である限り、示されているように、重心は重心と一致します。地球の重力場は、よく知られている一般的なg = 9.8 m / s ^2の値で、垂直方向に下向きになっています。

gの値は緯度と高度によって異なりますが、これらは通常ほとんどの場合オブジェクトに影響を与えません。地球に非常に近い小惑星など、地球の近くにある大きな物体を考える場合、それは非常に異なります。

小惑星には独自の重心がありますが、小惑星のサイズと各粒子の重さが平行でない可能性があるため、gはおそらく大きさが大幅に変動するため、重心はこれと一致する必要はありません。

もう1つの基本的な違いは、オブジェクトに加わる重みと呼ばれる力の有無に関係なく、重心が見つかることです。これは、オブジェクトの質量がそのジオメトリとの関係でどのように分布しているかを明らかにするオブジェクトの固有のプロパティです。

重心は、重量が適用されているかどうかに関係なく存在します。また、重力場の異なる他の惑星に移動しても同じ位置に配置されます。

一方、前の段落で見てきたように、重心は重量の適用に明らかに関連しています。

重心の例

不規則なオブジェクトの重心

カップのような不規則なオブジェクトの重心がどこにあるかを見つけるのは非常に簡単です。まず、任意のポイントから吊り下げられ、そこから垂直線が引かれます（図5では、左の画像のフクシア線です）。

次に、別のポイントから吊り下げられ、新しい垂直線が描画されます（右の画像では青緑色の線）。両方の線の交点がカップの重心です。

図5。マグカップのCG配置。出典：Pixabayから修正。

オブジェクトのバランスをとる

道路を走行するトラックの安定性を分析しましょう。重心がトラックのベースの上にある場合、トラックは転倒しません。左の画像が最も安定した位置です。

図6.トラックのバランスを調整します。出典：自作。

トラックが右に傾いている場合でも、垂直線がベースを通過しているため、真ん中の図のように安定した平衡位置に戻ることができます。ただし、このラインがトラックの外に出ると、転倒します。

図は支点での力を示しています。黄色は正常、緑色は体重、そしてフクシアは左に静止摩擦です。回転軸には法線と摩擦が適用されるため、トルクはかかりません。したがって、トラックの横転に寄与することはありません。

重量は残りますが、幸運にも反時計回りにトルクを発揮し、トラックを平衡位置に戻す傾向があります。垂直線がタイヤであるサポート表面を通過することに注意してください。

トラックが右端の位置にあるとき、ウェイトのトルクは時計回りに変化します。別のタイミングで対抗できないため、トラックは転倒します。

参考文献

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