カルノーサイクル：ステージ、アプリケーション、例、演習 - 物理的 - 2025

カルノーサイクルがカルノーエンジンのみリバーシブルタイプのプロセスからなる理想的な装置で行われる熱力学的プロセスのシーケンスです。つまり、発生したものを初期状態に戻すことができます。

このタイプのモーターは、実際の機械で発生する散逸、摩擦、または粘性に欠け、熱エネルギーを使用可能な仕事に変換しますが、変換は100％行われないため、理想的と見なされています。

図1.蒸気機関車。出典：Pixabay

エンジンは、ガス、ガソリン、蒸気など、仕事をすることができる物質から始まります。この物質は温度のさまざまな変化にさらされ、その圧力と体積の変化を経験します。このようにして、シリンダー内でピストンを動かすことが可能です。

カルノーサイクルとは何ですか？

カルノーサイクルがカルノーエンジン又はシリンダ内に封入し、異なる温度Tで2つの源と接触しているピストンを備えた理想的なガスであるCと呼ばれるシステム内で行わ₁及びT ₂として左の図に示します。

図2.左側はカルノー機械の図、右側はPV図。左の図の出典：Ketaから-自分の作品、CC BY 2.5、https：//commons.wikimedia.org/w/index.php？curid = 681753、右の図Wikimedia Commons。

そこでは、以下のプロセスが大まかに起こります：

1. 一定の熱量Q _input = Q ₁は、高温の熱リザーバーT ₁からデバイスに供給されます。
2. カルノーのエンジンCは、この供給された熱のおかげで仕事Wを実行します。
3. 使用される熱の一部：廃棄物Qの_出力は、より低い温度T ₂のサーマルタンクに移動します。

カルノーサイクルの段階

図2（右図）に示すように、PV（圧力-体積）ダイアグラムを使用して分析が実行されます。モーターの目的は、熱リザーバー2を冷たく保ち、熱リザーバー2から熱を抽出することです。この場合は冷却機です。一方、熱をサーマルタンク1に移動する場合は、ヒートポンプです。

2つの条件下でのモーターの圧力と温度の変化をPVダイアグラムに示します。

-温度を一定に保つ（等温プロセス）。

-熱伝達なし（断熱）。

2つの等温プロセスを接続する必要があります。これは断熱によって達成されます。

ポイント

ガスの圧力、体積、および温度の特定の条件があるサイクルの任意の時点から開始できます。ガスは一連のプロセスを経て、開始条件に戻って別のサイクルを開始することができ、最終的な内部エネルギーは常に初期のものと同じです。エネルギーが節約されるので：

このループまたはループ内の領域は、図ではターコイズで表示され、Carnotエンジンによって実行される作業とまったく同じです。

図2では、ポイントA、B、C、Dがマークされています。青色の矢印に続いて、ポイントAから開始します。

第1段階：等温膨張

ポイントAとBの間の温度はT ₁です。システムは、サーマルタンク1から熱を吸収し、等温膨張します。次に、体積が増加し、圧力が減少します。

ただし、ガスが膨張すると冷却されるため、温度はT _1のままです。したがって、その内部エネルギーは一定のままです。

第2段階：断熱膨張

ポイントBで、システムは新しい拡張を開始し、システムは熱を獲得または喪失しません。これは、上記のように断熱材に入れることによって実現されます。したがって、赤い矢印に続いてCをポイントし続けるのは断熱膨張です。体積が増加し、圧力が最低値に下がります。

第3段階：等温圧縮

それは点Cで始まり、Dで終わります。断熱材が取り除かれ、システムは温度T ₂が低いサーマルタンク2と接触します。システムは廃熱をサーマルリザーバーに移動し、圧力が増加し始め、体積が減少します。

第4段階：断熱圧縮

ポイントDでは、システムは断熱に戻り、圧力が増加し、ボリュームが減少して、ポイントAの元の条件に到達します。その後、サイクルが再び繰り返されます。

カルノーの定理

カルノーの定理は、19世紀初頭にフランスの物理学者サディカルノーによって最初に仮定されました。1824年、フランス軍の一部であったカルノーは、次の質問への回答を提案した本を出版しました。その後、カルノーは以下を確立しました。

熱機関の効率ηは、行われた仕事Wと吸収された熱Qの間の商によって与えられます。

このように、あらゆる熱機関の効率Iはη= W / Qです。Carnot Rモーターの効率はη´= W / Q´ですが、両方のモーターが同じ仕事をすることができると仮定します。

カルノーの定理は、ηがη´を超えることは決してないと述べています。それ以外の場合、熱力学の第2法則とは矛盾します。その結果、外部からの支援を受けずに、熱が低温の体から出て高温になるプロセスは不可能です。したがって：

η _< η ^'

カルノーの定理の証明

これがそうであることを示すために、カルノーエンジンは、Iエンジンによって駆動される冷却機として機能していると考えてください。

図3.カルノーの定理の証明。出典：Netheril96

私たちは両方を持っています：IとRは同じ熱リザーバーで動作しており、η _> η ^'であると仮定されます。途中で熱力学の第2法則に矛盾が生じた場合、カルノーの定理は不条理への還元によって証明されます。

図3は、プロセスの追跡に役立ちます。エンジンIは熱量Qを受け取り、それを次のように分割します。R= W =ηQに相当する仕事を行い、残りは熱リザーバーT ₂への熱伝達（1-η）Q です。

エネルギーが節約されるため、次のすべてが当てはまります。

E _入力 = Q =作業W + T _2に伝達される熱=ηQ+（1-η）Q = E _出力

これで、カルノー冷凍機Rは、次の式で与えられる熱量を蓄熱器2から受け取ります。

（η/ η´）（1-η´）Q =

この場合、エネルギーも節約する必要があります。

E _入力 =ηQ+（η/ η´）（1-η´）Q =（η/ η´）Q = Q´= E _出力

結果は、（η/ η´）Q = Q´で与えられる熱量の熱リザーバーT _2への移動です。

ηがη´より大きい場合、それは私が最初に取ったよりも多くの熱がより高い温度の熱堆積物に到達したことを意味します。別の熱源などの外部エージェントが関与していないので、起こり得る唯一の方法は、より低温の蓄熱器が熱を放棄することです。

これは、熱力学の第二法則とは一致しません。次に、η ^'がη未満である可能性はないと結論付けられます。したがって、エンジンIはCarnot Rエンジンよりも効率が高くなることはできません。

定理の帰結と限界

カルノーの定理の帰結として、2台のカルノーマシンが同じ熱リザーバーで動作する場合、2台のカルノーマシンは同じ効率であると述べています。

それは、物質に関係なく、パフォーマンスは独立していて、それを変更することによって上げることができないことを意味します。

上記の分析からの結論は、カルノーサイクルが熱力学プロセスの理想的に達成可能なトップであるということです。実際には、効率を低下させる多くの要因があります。たとえば、断熱が完全ではなく、断熱段階では実際には外部との熱交換があります。

車の場合、エンジンブロックが熱くなります。一方、ガソリンと空気の混合は、カルノーサイクルの開始点である理想的なガスのようには動作しません。これは、パフォーマンスを大幅に低下させるいくつかの要因に言及することです。

例

シリンダー内のピストン

システムが図4のようにシリンダーに囲まれたピストンである場合、ピストンは、左端の最初の図に示すように、等温膨張中に上昇し、断熱膨張中にも上昇します。

図4.シリンダー内のピストンの動き。出典：自作。

その後、等温で圧縮されて熱を放棄し、断熱的に圧縮され続けます。その結果、ピストンがシリンダー内で上下し、特定のデバイス（たとえば、トルクを生成する自動車のエンジンや蒸気エンジンなど）の他の部分に伝達できる動きが得られます。

さまざまな可逆プロセス

シリンダー内の理想的なガスの膨張と圧縮に加えて、カルノーサイクルを構成できる他の理想的な可逆プロセスがあります。次に例を示します。

-摩擦がない場合の前後の動き。

-圧縮と減圧を行い、変形しない理想的なスプリング。

-エネルギーを散逸させる抵抗がない電気回路。

-損失のない着磁と消磁のサイクル。

-バッテリーの充電と放電。

原子力発電所

これは非常に複雑なシステムですが、原子炉でエネルギーを生成するために必要なものの最初の概算は次のとおりです。

-ウランなどの放射性崩壊材料からなる熱源。

-大気となる冷たいヒートシンクまたはリザーバー。

・ほぼ常時流水である流体を使用し、熱源から熱を供給して蒸気に変換する「カルノーエンジン」。

サイクルが実行されると、電気エネルギーはネットワークとして取得されます。高温で蒸気に変換されると、水はタービンに到達し、そこでエネルギーが運動または運動エネルギーに変換されます。

タービンは、発電機を駆動し、発電機の動きのエネルギーを電気エネルギーに変換します。ウランなどの核分裂性物質に加えて、化石燃料はもちろん熱源として使用できます。

解決された演習

-例1：熱機関の効率

熱機関の効率は、出力仕事と入力仕事の間の商として定義されるため、無次元の量です。

最大効率をe _maxとして表すと、測定が最も簡単な変数である温度への依存性を次のように示すことができます。

ここで、T ₂はシンクの温度、T ₁は熱源の温度です。後者の方が高いため、効率は常に1未満になります。

次の方法で動作する熱機関があるとします。

解決

a）最初の場合の効率は次のとおりです。

b）2番目のモードの場合、効率は次のようになります。

温度差は両方のモードで同じですが、効率は異なります。さらに注目すべきは、最も効率的なモードが低温で動作することです。

-例2：熱吸収および熱伝達

22％の効率の熱機関は、1,530 Jの仕事を生み出します。検索：a）サーマルタンク1から吸収される熱の量、b）サーマルタンク2に排出される熱の量。

a）この場合、効率の定義が使用されます。これは、サーマルタンクの温度ではなく、実行された作業が利用できるためです。22％の効率は、e _max = 0.22であることを意味します。したがって、次のようになります。

吸収される熱量は正確にQ _inputなので、次のように解けます。

b）最も冷たいタンクに伝達される熱量は、ΔW = Q _入力 -Q _出力から求められ_ます。

別の方法は、e _max = 1-（T ₂ / T ₁）からです。温度は不明ですが、熱に関連しているため、効率は次のように表すこともできます。

参考文献

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