いくつかの変数の関数の偏導関数は、変数の1つが無限小の変化を持ち、他の変数は変化しない場合に、関数の変化率を決定するものです。
アイデアをより具体的にするために、2つの変数の関数の場合を想定してください：z = f（x、y）。変数xに関する関数fの偏微分は、xに関する常微分として計算されますが、変数yは定数であるかのように扱われます。
図1関数f（x、y）とその偏導関数∂ X F Y∂ Y（GeoGebraのとR.ペレスによって詳述）点PにおけるF
偏微分表記
変数xに対する関数f（x、y）の偏微分演算は、次のいずれかの方法で表されます。
偏微分では、記号∂（ヤコビのdとも呼ばれる丸められた文字dの一種）が使用されます。これは、単一変数関数の通常の微分が文字dが微分に使用されるのとは対照的です。
一般的に、多変量関数の偏導関数は、その変数の1つに関して、元の関数と同じ変数に新しい関数を生成します。
∂ X F（X、Y）= G（x、y）は
∂ Y F（X、Y）= H（x、y）とします。
偏微分の計算と意味
X軸に平行な方向の特定のポイント（x = a、y = b）の関数の変化率または勾配を決定するには、次のようにします。
1-関数∂ X F（X、Y）= G（X、y）が計算される変数Xの通常の導関数をとり、変数yは固定または一定残します。
2-次に、x = aおよびy = bの点の値を代入します。ここで、x方向の関数の変化率を知りたいです。
{点におけるx方向の勾配（b）は}∂= X F（A、B）。
3-座標点（a、b）でのy方向の変化率を計算するには、最初に∂ と f（x、y）= h（x、y）を計算します。
4-次に、ポイント（x = a、y = b）を以前の結果に代入して次の値を取得します。
{点のY方向の傾き（A、B）} =∂ Y F（a、b）は
偏微分の例
偏微分のいくつかの例は次のとおりです。
例1
関数を考える：
f（x、y）= -x ^ 2-y ^ 2 + 6
変数xと変数yに関する関数fの偏微分を求めます。
解決：
∂xf = -2x
∂yf = -2y
変数xに関する関数fの偏微分を計算するために、xに関する常微分が実行されましたが、変数yは定数であるかのように取られています。同様に、yに関するfの偏微分の計算では、変数xは定数であるかのように扱われています。
関数f（x、y）は、図1に黄土色で示される放物面と呼ばれる面です。
例2
点（x = 1、y = 2）のX軸とY軸の方向における、例1の関数f（x、y）の変化率（または勾配）を求めます。
溶液：与えられた点でのxの勾配とy方向を見つけるためには、単に∂関数にポイントの値を代入X F（x、y）と関数∂にY F（X、Y）：
∂ X F（1,2）=-2⋅1 = -2
∂ および f（1,2）=-2⋅2 = -4
図1は、関数f（x、y）と平面y = 2の交差によって決定される曲線の接線（赤色）を示しています。この線の傾きは-2です。図1は、関数fと平面x = 1の交点を定義する曲線の接線（緑色）も示しています。この線には勾配-4があります。
演習
演習1
ある時点の円錐ガラスには水が含まれているため、水の表面の半径はr、深さはhになります。しかし、ガラスの底には小さな穴があり、そこから毎秒C立方センチメートルの速度で水が失われます。1秒あたりのセンチメートルで水面からの降下率を決定します。
解決：
まず第一に、与えられた瞬間の水の量は次のとおりであることを覚えておく必要があります：
体積は、半径rと深さhの2つの変数の関数です。V（r、h）。
体積が微小量dVだけ変化すると、水面の半径rと水の深さhも次の関係に従って変化します。
dV =∂ R VのDR +∂ H V DH
rとhに関するVの偏導関数をそれぞれ計算します。
∂ のR V =∂ R（⅓πR ^ 2時間）=⅔πRH
∂ 時間 V =∂ H（⅓πR ^ 2時間）=⅓πR ^ 2
さらに、半径rと深さhは次の関係を満たします。
両方のメンバーを時間微分dtで割ると、次のようになります。
dV / dt =πr ^ 2（dh / dt）
しかし、dV / dtは、単位時間あたりに失われる水の量であり、Cセンチメートル/秒であることが知られています。一方、dh / dtは、vと呼ばれる水の自由表面の降下率です。つまり、与えられた瞬間の水面は、次式で与えられる速度v（cm / s）で下降します。
v = C /（πr ^ 2）。
数値アプリケーションとして、r = 3 cm、h = 4 cm、漏れ率Cが3 cm ^ 3 / sであるとします。その瞬間の表面の下降速度は次のとおりです。
v = 3 /（π3 ^ 2）= 0.11 cm / s = 1.1 mm / s。
演習2
Clairaut-Schwarzの定理は、関数がその独立変数で連続であり、独立変数に関する偏微分も連続である場合、2次混合微分は交換可能であると述べています。関数のこの定理を確認してください
f（x、y）= x ^ 2 y、つまり∂xy f = ∂yx fを満たす必要があります。
解決：
∂ XY =∂F X（∂ Y F）∂一方YX F =∂ Y（∂ X F）
∂ X F = 2 XY。∂ Y F = X ^ 2
∂ XY =∂F X（∂ Y F）= 2X
∂ YX F =∂ Y（∂ X F）= 2X
関数fとその偏微分はすべての実数で連続であるため、シュワルツの定理が成り立つことが証明されています。
参考文献
- フランク・エアーズ、J。&メンデルソン、E。（2000）。計算5ed。Mc Graw Hill。
- Leithold、L.（1992）。分析ジオメトリを使用した計算。ハーラ、SA
- Purcell、EJ、Varberg、D.&Rigdon、SE（2007）。計算。メキシコ：ピアソン教育。
- Saenz、J.（2005）。微分微積分。斜辺。
- Saenz、J.（2006）。積分。斜辺。
- ウィキペディア。偏微分。から回復：es.wikipedia.com