これは不等三角形プロパティと呼ばれ、それらの合計の絶対値で構成される2つの実数は常にそれらの絶対値の合計以下になります。この特性は、ミンコフスキーの不等式または三角不等式としても知られています。
三角形の領域ではこの不等式が常に適用されるとは限らないが、三角形では片側の長さが常に他の2つの長さの合計以下になることがあるので、この数値の特性は三角形の不等式と呼ばれます。
図1. 2つの数値の合計の絶対値は、常にそれらの絶対値の合計以下です。（R.ペレス作成）
実数の三角形の不等式の証明はいくつかありますが、この場合は、絶対値と二項二乗の特性に基づいて1つを選択します。
定理：実数に属するaとbのすべてのペアについて：
-a + b-≤-a-+-b-
デモンストレーション
二乗される不等式の最初のメンバーを検討することから始めます。
-a + b-^ 2 =（a + b）^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2（式1）
前のステップでは、任意の2乗数が上記の2乗数の絶対値に等しい、つまり-x- ^ 2 = x ^ 2のプロパティを使用しました。二項二乗展開も使用されています。
すべての数値xはその絶対値以下です。数値が正の場合は同じですが、数値が負の場合は常に正の数値よりも小さくなります。この場合、それ自体の絶対値、つまり、x≤-x-と表現できます。
積（ab）は数値であるため、（ab）≤-ab-が適用されます。このプロパティを（式1）に適用すると、次のようになります。
-a + b-^ 2 = a ^ 2 + 2（ab）+ b ^ 2≤a ^ 2 + 2-ab-+ b ^ 2（式2）
-ab-=-a-b-la（式2）は次のように記述できます。
-a + b-^ 2≤a ^ 2 + 2-a-b-+ b ^ 2（式3）
しかし、前に、数値の2乗は2乗した数値の絶対値に等しいと述べたので、方程式3は次のように書き直すことができます。
-a + b-^ 2≤-a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2（式4）
不平等の2番目のメンバーでは、注目に値する積が認識され、適用すると次のようになります。
-a + b-^ 2≤（-a- + -b-）^ 2（式5）
前の式では、不等式の両方のメンバーで二乗される値が正であるため、次のことも満たす必要があります：
-a + b-≤（-a- + -b-）（式6）
前の表現は、まさにあなたが実証したかったものです。
例
次に、いくつかの例を使用して三角不等式を確認します。
例1
値a = 2と値b = 5、つまり両方の正の数を取り、不等式が満たされているかどうかを確認します。
-2 + 5-≤-2- + -5-
-7-≤-2- + -5-
7≤2+ 5
等式が検証され、三角形の不等式定理が満たされました。
例2
次の値a = 2およびb = -5が選択されます。つまり、正の数と他の負の数が選択され、不等式が満たされているかどうかを確認します。
-2-5-≤-2- + --5-
--3-≤-2- + --5-
3≤2 + 5
不等式が満たされているため、三角不等式定理が検証されました。
例3
値a = -2と値b = 5、つまり負の数と他の正の値を取り、不等式が満たされているかどうかを確認します。
--2 + 5-≤--2- + -5-
-3-≤--2- + -5-
3≤2 + 5
不等式が検証され、定理が満たされました。
実施例4
次の値a = -2およびb = -5が選択されます。つまり、両方が負の数であり、不等式が満たされているかどうかを確認します。
--2-5-≤--2- + --5-
--7-≤--2- + --5-
7≤2+ 5
等式が検証されたため、ミンコフスキーの不等式定理が満たされました。
例5
値a = 0と値b = 5、つまり数値ゼロとその他の正の値を取り、不等式が満たされているかどうかを確認します。
-0 + 5-≤-0- + -5-
-5-≤-0- + -5-
5≤0+ 5
等式が満たされているため、三角形の不等式定理が検証されています。
実施例6
値a = 0と値b = -7、つまり数値ゼロと他の正の値を取り、不等式が満たされているかどうかを確認します。
-0-7-≤-0- + --7-
--7-≤-0- + --7-
7≤0+ 7
等式が検証され、三角不等式定理が満たされました。
解決された演習
次の演習では、三角形の不等式またはミンコフスキーの不等式をaとbの数値で幾何学的に表現します。
数値aはX軸上のセグメントとして表され、その原点OはX軸のゼロと一致し、セグメントのもう一方の端（点Pで）は、X軸の正の方向（右側）になります。 >0。ただし、<0の場合は、X軸の負の方向に向かい、その絶対値が示す数の単位になります。
同様に、数値bは、原点が点Pにあるセグメントとして表されます。もう一方の極値、つまり、点Qは、bが正（b> 0）で、点Qが-bの場合、Pの右側になります。 -b <0の場合、Pの左側の単位。
演習1
a = 5およびb = 3-a + b-≤-a-+-b-の三角形の不等式をグラフ化します。ここで、c = a + bです。
演習2
a = 5およびb = -3の三角不等式をグラフ化します。
-a + b-≤-a-+-b-、ここでc = a + b。
演習3
a = -5およびb = 3の三角形の不等式をグラフィック表示します。
-a + b-≤-a-+-b-、ここでc = a + b。
演習4
a = -5およびb = -3の三角不等式をグラフィカルに構築します。
-a + b-≤-a-+-b-、ここでc = a + b。
参考文献
- E.ホワイトシット。（1980）。ブール代数とその応用。編集会社Continental CA
- MícheálO 'Searcoid。（2003）Elements of Abstract Analysis。。数学科。大学カレッジダブリン、ベルドフィールド、ダブラインド。
- J.ヴァンウィック （2006）コンピュータサイエンスの数学と工学。コンピュータ科学技術研究所。国家標準局。ワシントンDC 20234
- エリック・リーマン。コンピュータサイエンスのための数学。Google Inc.
- Fトムソンレイトン（1980）微積分。マサチューセッツ工科大学数学科およびコンピュータサイエンスおよびAIラボ。
- カーンアカデミー。三角形の不平等定理。回収元：khanacademy.org
- ウィキペディア。三角形の不等式。から回復：es。wikipedia.com