線形補間：方法、解決された演習 - 数学 - 2025

線形補間は、二つの与えられた数字の間にある未知の値を決定するために、一般的なニュートン補間と近似を発信する方法です。つまり、中間値が見つかります。また、値f _（a）とf _（b）が既知であり、f _（x）の中間値を知りたい近似関数にも適用されます。

線形、二次、三次などのさまざまな種類の補間があり、線形近似が最も簡単です。線形補間で支払う必要のある代償は、結果がより高い次数の関数を使用した近似ほど正確ではないということです。

定義

線形補間は、明確に定義された2つの値の間の値を推定できるプロセスです。この値は、表または線グラフにすることができます。

たとえば、3リットルの牛乳は4ドルの価値があり、5リットルは7ドルの価値があることがわかっているが、4リットルの牛乳の値が何であるかを知りたい場合は、補間してその中間値を決定します。

方法

関数の中間値を推定するには、関数f _（x）を直線r _（x）で近似します。これは、セクション«x = a»および«x =の場合、関数が«x»に比例して変化することを意味しますb "; つまり、間隔（x ₀、x ₁）と（y ₀、y ₁）の値 "x"の場合、 "y"の値はポイント間の線で与えられ、次の関係で表されます。

（y-y ₀）÷（x-x ₀）=（y ₁ -y ₀）÷（x ₁ -x ₀）

補間が線形であるためには、補間多項式が次数1（n = 1）でなければならず、x _0と x _1の値に適合します_。

線形補間は三角形の類似性に基づいており、前の式から幾何学的に導出すると、「x」の未知の値を表す「y」の値を取得できます。

その方法では、次のことを行う必要があります。

a = tanƟ=（反対側の脚₁ ÷隣接する脚₁）=（反対側の脚₂ ÷隣接する脚₂）

別の方法で表現すると、次のようになります。

（y-y ₀）÷（x-x ₀）=（y ₁ -y ₀）÷（x ₁ -x ₀）

式から「そして」を解くと、次のようになります。

（y-y ₀）_*（x ₁ -x ₀）=（x-x ₀）_*（y ₁ -y ₀）

（y-y ₀）=（y ₁ -y ₀）_*

したがって、線形補間の一般的な方程式が得られます。

y = y _{0 +}（y ₁ -y ₀）_*

一般に、線形補間では、真の関数の実際の値に小さなエラーが発生しますが、探したい数値に近い数値を直感的に選択した場合と比較すると、エラーは最小限です。

このエラーは、曲線の値を直線で近似しようとすると発生します。これらの場合、近似をより正確にするために、間隔のサイズを減らす必要があります。

近似に関してより良い結果を得るには、次数2、3、またはそれ以上の次数の関数を使用して補間を実行することをお勧めします。これらの場合、テイラーの定理は非常に便利なツールです。

解決された演習

演習1

x時間後のインキュベーションに存在する単位体積あたりの細菌数を次の表に示します。3.5時間のバクテリアの量を知りたい。

解決

参照表は、3.5時間の細菌量を示す値を確立していませんが、それぞれ3時間と4時間に対応する上限値と下限値があります。そのように：

x ₀ = 3および₀ = 91

x = 3.5 y =？

x ₁ = 4および₁ = 135

ここで、数式を適用して、次の補間された値を見つけます。

y = y _{0 +}（y ₁ -y ₀）_*。

次に、対応する値が置き換えられます：

y = 91 +（135-91）_*

y = 91 +（44）_*

y = 91 + 44 _* 0.5

y = 113。

したがって、３．５時間の時間で、バクテリアの数は１１３であり、これは、３時間と４時間の時間に存在するバクテリアの量の中間レベルを表すことが分かる。

演習2

Luisにはアイスクリーム工場があり、8月に行った費用に基づいて、8月に得た収入を調べるための調査を行いたいと考えています。会社の管理者はこの関係を表すグラフを作成しますが、Luisは次のことを知りたいと考えています。

55,000ドルの費用が発生した場合、8月の収入はいくらですか？

解決

グラフには、収入と支出の値が示されています。ルイスは、工場に55,000ドルの費用がかかっている場合、8月の収入を知りたいと考えています。この値はグラフに直接反映されていませんが、値はこれより高く、低くなっています。

最初に、値を簡単に関連付けるためのテーブルを作成します。

ここで、補間式を使用してyの値を決定します

y = y _{0 +}（y ₁ -y ₀）_*

次に、対応する値が置き換えられます：

y = 56,000 +（78,000-56,000）_*

y = 56,000 +（22,000）_*

y = 56,000 +（22,000）_*（0.588）

y = 56,000 + 12,936

y = 68,936ドル。

8月に55,000ドルの費用が発生した場合、収入は68,936ドルでした。

参考文献

1. アーサー・グッドマン、LH（1996）。解析幾何学による代数と三角法。ピアソン教育。
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