ルールSarrusは、 3×3の決定の結果を計算するために使用されます。これらは、線形方程式を解いて互換性があるかどうかを調べるために使用されます。
互換性のあるシステムにより、ソリューションを簡単に入手できます。また、ベクトルのセットが線形独立であるかどうかを判断したり、ベクトル空間の基礎を形成したりするためにも使用されます。
これらのアプリケーションは、行列の可逆性に基づいています。行列が正則である場合、その行列式は0とは異なります。それが特異な場合、その行列式は0に等しくなります。行列式は正方行列でのみ計算できます。
任意の次数の行列を計算するには、ラプラスの定理を使用できます。この定理により、メイン行列から分解する小さな行列式の合計で、高次元の行列を簡略化できます。
それは、行列の行列式が各行または列の積の合計に、その随伴行列の行列式を掛けたものに等しいと述べています。
これは、行列式を減らし、次数nの行列式がn-1のn行列式になるようにします。このルールを続けて適用すると、次元2（2×2）または3（3×3）の行列式が得られ、計算がはるかに簡単になります。
サーラスのルール
ピエールフレデリックサラスは19世紀のフランスの数学者でした。彼の数学的な論文のほとんどは、方程式を解く方法と、数値方程式内の変動の計算に基づいています。
彼の論文の1つで、彼は力学における最も複雑な謎の1つを解決しました。関節部分の問題を解決するために、Sarrusは均一な円運動で、代替直線運動の変換を導入しました。この新しいシステムは、Sarrusメカニズムとして知られています。
この数学者に最も名声を与えた研究は、彼が論文「Nouvellesméthodespour larésolutiondes equations」（方程式を解くための新しい方法）で、行列式を計算する新しい方法を紹介したことでした。 1833年。線形方程式を解くこの方法は、サーラスの法則として知られています。
Sarrusルールを使用すると、3×3行列の行列式を計算できます。ラプラスの定理を使用する必要がなく、はるかに単純で直感的な方法が導入されます。サーラスの法則の値をチェックするために、次元3の行列をとります。
その行列式の計算は、主対角線の積を使用して、逆対角線の積を差し引いて実行されます。これは次のようになります。
サーラスの法則により、行列式の対角を計算するときに、はるかに簡単なビジョンを得ることができます。マトリックスの後ろに最初の2列を追加することで簡単になります。このようにして、積を計算するために、主対角線と逆対角線のどちらがより明確に表示されます。
この画像を見ると、Sarrusの法則の適用がわかります。最初の行列のグラフィック表現の下に行1と2が含まれています。このように、主な対角線は最初に現れる3つの対角線です。
次に、3つの逆の対角線が、最初に後ろに表示されます。
このようにして、行列式の解像度を複雑にすることなく、対角線がより視覚的に表示され、行列のどの要素が各対角線に属しているかを見つけようとします。
画像に表示されているように、対角線を選択し、各関数の結果の積を計算します。青色で表示される対角線は、合計されるものです。これらの合計に、赤で表示される対角線の値を差し引きます。
圧縮を簡単にするために、代数項とサブ項を使用する代わりに、数値例を使用できます。
たとえば、3×3の行列を使用するとします。
Sarrusのルールを適用し、より視覚的な方法でそれを解決するには、行1と2をそれぞれ行4と5として含める必要があります。行1を4番目の位置に維持し、行2を5番目の位置に維持することが重要です。それらを交換した場合、Sarrusルールは有効になりません。
行列式を計算するために、マトリックスは次のようになります。
計算を続けるために、主な対角線の要素を乗算します。左から始まる子孫には正の符号があります。一方、右から始まる逆対角線は負の符号を持ちます。
この例では、青色のものは正の符号を持ち、赤色のものは負の符号を持ちます。Sarrusルールの最終的な計算は次のようになります。
行列式のタイプ
次元1の行列式
マトリックスの次元が1の場合、マトリックスは次のようになります：A =（a）
したがって、その決定要因は次のようになります。det（A）= -A- = a
要約すると、行列Aの行列式は行列Aの絶対値に等しく、この場合はaです。
次元2の行列式
次元2の行列を渡すと、次のタイプの行列が得られます。
ここで、その行列式は次のように定義されています。
この行列式の解像度は、主対角線の乗算に基づいて、その逆対角線の積を減算します。
ニーモニックとして、次の図を使用してその決定要因を覚えることができます。
次元3の行列式
マトリックスの次元が3の場合、結果のマトリックスは次のタイプになります：
この行列の行列式は、Sarrusのルールによって次のように解かれます。
参考文献
- Jenny Olive（1998）Maths：A Student's Survival Guide。ケンブリッジ大学出版局。
- Richard J. Brown（2012）30-Second Maths：The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics。Ivy Press Limited。
- Dave Kirkby（2004）Maths Connect。ハイネマン。
- Awol Assen（2013）3×3行列の行列式の計算に関する研究。Lap Lambert Academic Publishing。
- Anthony Nicolaides（1994）行列式と行列。出版物を渡す。
- ジェシー・ラッセル（2012）サーラスの支配。
- M. Casteleiro Villalba（2004）線形代数入門。ESIC社説。