リーマン和は、用語の有限数の離散的な和によって定積分の近似計算に与えられた名称です。一般的なアプリケーションは、グラフ上の関数の面積の近似です。
特定の区間における関数の積分の厳密な定義を最初に提供したのは、ドイツの数学者ゲオルクフリードリッヒベルンハルトリーマン（1826-1866）でした。彼は1854年に発表された記事でそれを知らせました。
図1.リーマン和は、関数fと区間内のパーティションで定義されます。出典：Fanny Zapata。
リーマン和は関数y = f（x）で定義され、xは閉区間に属します。この間隔で、n要素のパーティションPが作成されます。
P = {x 0 = a、x 1、x 2、…、x n = b}
つまり、間隔は次のように分割されます。
X K-1 ≤T K ≤X K
図1は、灰色の四角形である4つの部分区間のパーティション上の区間における関数fのリーマン和をグラフで示しています。
合計は長方形の総面積を表し、この合計の結果は、横座標x = x 0と x = x 4の間の曲線fの下の面積を数値的に近似します。
もちろん、分割数nが大きいほど、曲線の下の領域の近似は大幅に向上します。このようにして、パーティションの数nが無限大になる傾向がある場合、合計は曲線の下の領域に収束します。
数式とプロパティ
パーティション上の関数f（x）のリーマン和：
P = {x 0 = a、x 1、x 2、…、x n = b}
間隔で定義され、次のように指定されます。
S（P、f）= ∑ k = 1 n f（t k）（x k -x k-1）
ここで、t kは区間内の値です。リーマンの合計では、通常、幅Δx=（b-a）/ nの規則的な間隔が使用されます。ここで、aとbは横座標の最小値と最大値、nはサブディビジョンの数です。
その場合、リーマンの正しい合計は次のとおりです。
Sd（f、n）= *Δx
図2.リーマンの右和。出典：ウィキメディア・コモンズ。09グラスゴー09。
リーマンの左和は次のように表されます。
（f、n）= *Δxの場合
図3.リーマン和。出典：ウィキメディア・コモンズ。09グラスゴー09
最後に、リーマン和の中心は次のとおりです。
Original text
Sc（f、n）= *Δx
図4.中間リーマン和。出典：ウィキメディア・コモンズ。09グラスゴー09
点t kが区間のどこにあるかに応じて、リーマン合計は関数y = f（x）の曲線の下の面積の正確な値を過大評価または過小評価する可能性があります。言い換えると、長方形は曲線から突き出るか、曲線の少し下にあります。
曲線の下の領域
リーマン和の主な特性であり、その重要性は、細分割の数が無限大になる傾向がある場合、和の結果が関数の定積分に収束することです。
解決された演習
-演習1
関数のa = -2からb = +2までの定積分の値を計算します。
f（x）= x 2
リーマン和を利用してください。これを行うには、まず、間隔のn個の通常のパーティションの合計を見つけてから、パーティションの数が無限になりがちな場合の数学的制限を取ります。
解決
これらは従うべきステップです：
-まず、パーティション間隔は次のように定義されます。
Δx=（b-a）/ n。
-次に、関数f（x）に対応する右側のリーマン和は次のようになります。
-そして、それは合計で慎重に置き換えられます：
-次のステップは、合計を分離し、一定量を各合計の共通因子としてとることです。インデックスがiであることを考慮する必要があるため、nを含む数と項は定数と見なされます。
-それぞれに適切な式があるため、各合計が評価されます。たとえば、最初の合計はnになります。
-最後に、計算される積分は：
読者は、これが正確な結果であることを確認できます。これは、不定積分を解き、バローの法則によって積分の限界を評価することで得られます。
-演習2
関数の下の領域をおおよそ決定します。
F（X）=（1 /√（2π））、E （-x 2 /2）
10パーティションの中央リーマン和を使用して、x = -1およびx = + 1を入力します。正確な結果と比較して、パーセンテージの違いを推定します。
解決
2つの連続する離散値間のステップまたは増分は次のとおりです：
Δx=（1-（-1）/ 10 = 0.2
したがって、長方形が定義されているパーティションPは次のようになります。
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
しかし、求められているのは中央の和なので、関数f（x）は部分区間の中点、つまりセット内で評価されます。
T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}。
（中央の）リーマン和は次のようになります。
S = f（-0.9）* 0.2 + f（-0.7）* 0.2 + f（-0.5）* 0.2 +…+ f（0.7）* 0.2 + f（0.9）* 0.2
関数fは対称的であるため、合計を5項に減らすことが可能であり、結果は2倍されます。
S = 2 * 0.2 * {f（0.1）+ f（0.3）+ f（0.5）+ f（0.7）+ f（0.9）}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
この例で与えられている関数は、よく知られているガウスベル（正規化、平均がゼロ、標準偏差が1）にほかなりません。この関数の区間の曲線の下の面積は0.6827であることがわかっています。
図5.リーマン和で近似されたガウスベルの下の領域。出典：F. Zapata。
つまり、10項のみの近似解は、小数点以下3桁の正確な解と一致します。近似積分と正確な積分の誤差率は0.07％です。
参考文献
- Casteleiro、JM、およびGómez-Álvarez、RP（2002）。積分（図版編）。マドリード：ESIC社説。
- ユニカン。積分の概念の歴史。回復：repositorio.unican.es
- UIS。リーマン和。から回復：matematicas.uis.edu.co
- ウィキペディア。リーマン和。回復元：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。リーマン統合。回復元：es.wikipedia.com