離散フーリエ変換：プロパティ、アプリケーション、例 - 数学 - 2025

離散フーリエ変換信号を構成する周波数スペクトルを参照サンプルを定義するために使用される数値的方法です。閉じたパラメータの周期関数を調べ、結果として別の離散信号を生成します。

離散信号でNポイントの離散フーリエ変換を取得するには、シーケンスxで次の2つの条件を満たす必要があります。

TDF

離散フーリエ変換は、フーリエ変換のNポイントサンプリングとして定義できます。

離散フーリエ変換の解釈

出典：Pexels

シーケンスx _sで得られた結果は、離散フーリエ変換によって解釈できる2つの視点があります。

-1つ目は、フーリエ級数から既知のスペクトル係数に対応します。これは、サンプルがシーケンスx _sと一致する離散周期信号で観察されます。

-2つ目は、サンプルがシーケンスx _sに対応する、離散的な非周期信号のスペクトルを扱います。

離散変換は、元のアナログ信号のスペクトルの近似です。その位相はサンプリングの瞬間に依存し、その大きさはサンプリング間隔に依存します。

プロパティ

構造の代数的基礎は、以下のセクションの理論的根拠を構成します。

直線性

C. S _n →C F; シーケンスにスカラーを掛けると、その変換も行われます。

T _n + V _n = F + F; 合計の変換は、変換の合計と同じです。

双対性

F→（1 / N）S _-k; 離散フーリエ変換が既に変換された式に再計算される場合、同じ式が取得され、Nでスケーリングされ、垂直軸に対して反転されます。

たたみ込み

ラプラス変換と同様の目的を追求して、関数のたたみ込みはそれらのフーリエ変換の間の積を指します。畳み込みは離散時間にも適用され、多くの最新の手順を担当します。

X _n * R _n →F .F; 畳み込みの変換は、変換の積に等しい。

X _n。R _n →F * F; 製品の変換は、変換のたたみ込みに等しいです。

変位

X _n-m →F e ^{–i（2π/ N）km} ; シーケンスがmサンプル遅延している場合、離散変換への影響は、（2π/ N）kmで定義された角度の変更になります。

対称

X _t = X * _t = X _t

変調

W ^-nm _N。x↔X _t

製品

xy↔（1 / N）X _t * Y _t

対称

X↔X _t = X * _t

共役

x *↔X * _t

パーセバル方程式

従来のフーリエ変換に関しては、いくつかの類似点と相違点があります。フーリエ変換は、シーケンスを実線に変換します。このように、フーリエ変数の結果は実数変数の複素関数であると言われています。

離散フーリエ変換とは異なり、離散信号を受け取り、それを別の離散信号、つまりシーケンスに変換します。

離散フーリエ変換とは何ですか？

それらは主に、方程式を大幅に簡略化する一方で、派生した式をパワー要素に変換するのに役立ちます。微分可能な表現を可積分多項式形式で表す。

結果の最適化、変調、およびモデリングでは、標準化された表現として機能し、数世代後のエンジニアリングの頻繁なリソースになります。

ソース：pixabay

歴史

この数学的概念は1811年にジョセフB.フーリエによって導入され、熱の伝播に関する論文が作成されました。それはすぐに科学と工学のさまざまな分野で採用されました。

ラプラス変換と常微分方程式の間の既存の作業関係と比較しても、偏微分を含む方程式の研究における主要な作業ツールとして確立されました。

フーリエ変換で使用できるすべての関数は、定義されたパラメーターの外側にnullを示す必要があります。

離散フーリエ変換とその逆

離散変換は次の式で得られます。

離散シーケンスXが与えられた後

離散フーリエ変換の逆は、次の式で定義されます。

逆PTO

離散変換が達成されると、時間領域Xでシーケンスを定義できます。

翼のある

離散フーリエ変換に対応するパラメーター化プロセスは、ウィンドウ処理にあります。変換を機能させるには、時間内のシーケンスを制限する必要があります。多くの場合、問題の信号にはこれらの制限はありません。

離散変換に適用するサイズ基準を満たさないシーケンスは、「ウィンドウ」関数Vで乗算され、制御されたパラメーターでシーケンスの動作を定義します。

バツ。V

スペクトルの幅はウィンドウの幅に依存します。ウィンドウの幅が大きくなるにつれて、計算された変換は狭くなります。

用途

基本的なソリューションの計算

離散フーリエ変換は、離散シーケンスの研究における強力なツールです。

離散フーリエ変換は、連続変数関数を離散変数変換に変換します。

熱方程式のコーシー問題は、離散フーリエ変換を頻繁に適用する分野です。定義されたパラメーターのサンプリング値に適用される、熱またはディリクレコアのコア関数が生成される場所。

信号理論

このブランチで離散フーリエ変換を適用する一般的な理由は、主に、より扱いやすい信号の無限重ね合わせとしての信号の特徴的な分解によるものです。

音波でも電磁波でもかまいません。離散フーリエ変換は、単純な波の重ね合わせで表現します。この表現は電気工学では非常に頻繁です。

フーリエ級数

これらは、コサインとサインで定義されたシリーズです。これらは、一般的な周期関数での作業を容易にするのに役立ちます。適用すると、常微分方程式や偏微分方程式を解く手法の一部になります。

フーリエ級数は、テイラー級数表現を持たない周期的な不連続関数を開発するため、テイラー級数よりもさらに一般的です。

フーリエ級数の他の形式

フーリエ変換を分析的に理解するには、フーリエ級数を複雑な表記法で定義できるようになるまで、フーリエ級数を見つけることができる他の方法を検討することが重要です。

-期間2Lの関数に関するフーリエ級数：

関数の対称的な特性を利用するときに利点を提供する間隔が考慮されます。

fが偶数の場合、フーリエ級数はコサインの系列として確立されます。

fが奇数の場合、フーリエ級数は一連の正弦として確立されます。

-フーリエ級数の複雑な表記

フーリエ級数のすべての要件を満たす関数f（t）がある場合、その複素数表記を使用して区間内で表すことができます。

例

基本的な解の計算に関して、以下の例が示されています。

一方、以下は、信号理論の分野での離散フーリエ変換の適用例です。

-システム識別の問題。確立されたfとg

-出力信号の一貫性の問題

-信号フィルタリングの問題

演習

演習1

次のシーケンスの離散フーリエ変換を計算します。

xのPTOは次のように定義できます。

X _t = {4、-j2、0、j2}（k = 0、1、2、3の場合）

演習2

デジタルアルゴリズムを通じて、式x（t）= e ^-tで定義されるスペクトル信号を決定します。ここで、最大周波数要求係数はf _m = 1Hzです。高調波はf = 0.3 Hzに対応し、誤差は5％未満に制限されます。f _s、DおよびNを計算します。

サンプリング定理f _s = 2f _m = 2 Hz を考慮する

f ₀ = 0.1 Hzの周波数分解能が選択され、そこからD = 1 / 0.1 = 10秒が得られます。

0.3 Hzはインデックスk = 3に対応する周波数で、N = 3×8 = 24サンプルです。f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2であることを示します

目的はNの最小値を取得することであるため、次の値を解決策と見なすことができます。

f ₀ = 0.3 Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33秒

k = 1

N = 1×8 = 8

参考文献

1. 1、2、または複数の次元での離散フーリエ変換の習得：落とし穴とアーティファクト。アイザック・アミドロール。Springer Science&Business Media、7月19日。2013
2. DFT：離散フーリエ変換のオーナーズマニュアル。ウィリアムL.ブリッグス、ヴァンエムデンヘンソン。SIAM、1月1日。1995
3. デジタル信号処理：理論と実践。D.スンダララジャン。2003年の世界科学
4. 信号分析と表現のための変換と高速アルゴリズム。Guoan Bi、Yonghong Zeng。Springer Science&Business Media、12月6日。2012
5. 離散および連続フーリエ変換：分析、アプリケーション、高速アルゴリズム。エレノア・チュー。CRCプレス、3月19日。2008年