斜角三角形：特性、式、面積、計算 - 数学 - 2025

不等辺三角形が異なる測定または長さを有する全てが三辺を有する多角形です。そのため、ラテン語で登山を意味する斜角石の名前が付けられています。

三角形は、3つの辺、3つの角度、3つの頂点で構成されるため、ジオメトリで最も単純なポリゴンと見なされます。斜角三角形の場合、すべての辺が異なるため、3つの角度も異なることになります。

斜角三角形の特徴

二等辺三角形や正三角形とは異なり、斜辺三角形は単純な多角形です。その辺や角度には同じ尺度がないためです。

それらのすべての辺と角度には異なる測定値があるため、これらの三角形は不規則な凸多角形と見なされます。

内角の振幅に基づいて、斜角三角形は次のように分類されます。

• 斜角三角形：すべての側面が異なります。その角度の1つは直角（90 ^または）で、他の角度は鋭利で、測定値は異なります。
• 鈍角の三角三角：すべての辺が異なり、その角度の1つが鈍角です（> 90 ^または）。
• 斜角鋭角三角形：すべての辺が異なります。すべての角度は鋭角（<90 ^または）で、測定値は異なります。

斜角三角形の別の特徴は、それらの辺と角度の不一致のために、対称軸を持たないことです。

部品

中央値：片側の中点から始まり、反対側の頂点に達する線です。3つの中央値は、重心または重心と呼ばれる点で交わります。

二等分線：各角度を等しい大きさの2つの角度に分割する光線です。三角形の二等分線は、中心点と呼ばれる点で交わります。

二等分線：三角形の辺に垂直な線分で、その中央に原点があります。三角形には3つの二等分線があり、外心点と呼ばれる点で交わります。

高さ：これは、頂点から反対側の側に向かう線で、この線はその側に垂直です。すべての三角形には、直交中心と呼ばれる点で一致する3つの高さがあります。

プロパティ

斜角三角形は、偉大な数学者が提案した定理に由来する三角形を表すいくつかの特性を持っているため、定義または識別されます。彼らです：

内角

内角の合計は常に180 ^°です。

辺の合計

2つのサイドのメジャーの合計は、常に3番目のサイドのメジャーa + b> cより大きくなければなりません。

矛盾した側面

三角の三角形のすべての辺には、異なるメジャーまたは長さがあります。つまり、それらは矛盾しています。

不整合な角度

斜角三角形のすべての辺が異なるため、その角度も異なります。ただし、内角の合計は常に180度に等しく、場合によっては、その角度の1つが鈍角または直角になることもあれば、すべての角度が鋭角になることもあります。

高さ、中央値、二等分線、二等分線は一致していません

他の三角形と同様に、斜線には、高さ、中央値、二等分線、二等分線など、三角形を構成するさまざまな線分があります。

その側面の特殊性のため、このタイプの三角形では、これらの線は1つに一致しません。

直交中心、重心、内心および外心は一致していません

高さ、中央値、二等分線、二等分線は異なる線分で表されるため、斜交点の三角形で、交点-直交中心、内中心、外心-は異なる点で見つかります（一致しません）。

三角形が鋭角であるか、右であるか、斜角であるかに応じて、正射中心の位置は異なります。

に。三角形が鋭角の場合、直交中心は三角形の内側になります。

b。三角形が正しい場合、直交中心は右側の頂点と一致します。

c。三角形が鈍角の場合、直交中心は三角形の外側になります。

相対高さ

高さは側面を基準にしています。

三角の三角形の場合、これらの高さは異なる測定値になります。すべての三角形には3つの相対的な高さがあり、ヘロンの公式を使用してそれらを計算します。

境界を計算する方法は？

ポリゴンの周囲は、辺を追加することによって計算されます。

この場合、三角の三角形はすべての辺に異なるメジャーがあるため、その周囲は次のようになります。

P =サイドa +サイドb +サイドc。

面積の計算方法は？

三角形の面積は常に同じ式で計算され、ベースと高さを掛けて2で除算します：

面積=（ベース_* h）÷2

場合によっては、三角の三角形の高さがわからないことがありますが、三角形の3つの辺の大きさを知っている面積を計算するために、数学者ヘロンが提案した公式があります。

どこ：

• a、b、cは三角形の辺を表します。
• spは、三角形の半外周、つまり外周の半分に対応します。

sp =（a + b + c）÷2

三角形の2つの辺とそれらの間に形成される角度の測定値しかない場合、面積は三角比を適用することで計算できます。だからあなたは：

面積=（辺_* h）÷2

高さ（h）は、片側と反対側の角度の正弦の積です。たとえば、両側で、面積は次のようになります。

• 面積=（b _* c _* sin A）÷2
• 面積=（a _* c _* sin B）÷2。
• 面積=（a _* b _* sin C）÷2

高さの計算方法は？

斜角三角形のすべての辺が異なるため、ピタゴラスの定理で高さを計算することはできません。

三角形の3辺の測定値に基づくヘロンの公式から、面積を計算できます。

高さは、エリアの一般式からクリアできます。

辺は、辺a、b、またはcのメジャーに置き換えられます。

いずれかの角度の値がわかっているときに高さを計算する別の方法は、三角比を適用することです。高さは三角形の脚を表します。

たとえば、高さの反対側の角度がわかっている場合は、サインによって決定されます。

辺の計算方法は？

2つの側面の測定値とそれらの反対側の角度がある場合、余弦定理を適用することで3番目の側面を決定できます。

たとえば、三角形ABでは、セグメントACに対する高さがプロットされます。このようにして、三角形は2つの直角三角形に分割されます。

サイドc（セグメントAB）を計算するには、各三角形にピタゴラスの定理を適用します。

• 青い三角形の場合：

c ² = h ² + m ²

m = b-nなので、次のように置き換えます。

c ² = h ² + b ²（b-n）²

C ² = H ² + B ² - 20億+ N ²。

• ピンクの三角形の場合、次のことを行う必要があります。

h ² = a ² -n ²

それは前の方程式で置き換えられます：

C ² = ² - N ² + B ² - 20億+ N ²

C ² = A ² + B ² - 20億。

n = a _* cos Cであることがわかっているため、前の式に代入され、辺cの値が取得されます。

C ² = A ² + B ² - 2B _{* *} C. COS

コサインの法則により、辺は次のように計算できます。

• ² = B ² + C ² - 2B _* C _* COS A.
• B ² = ² + C ² - 2A _* C _* B. COS
• C ² = A ² + B ² - 2B _{* *} C. COS

三角形の辺のメジャーが不明である場合がありますが、それらの高さと頂点で形成される角度です。これらの場合の面積を決定するには、三角比を適用する必要があります。

頂点の1つの角度がわかると、脚が識別され、対応する三角比が使用されます。

たとえば、レッグABは角度Cでは反対ですが、角度Aに隣接します。高さに対応する辺または脚に応じて、この値を取得するために反対側がクリアされます。

演習

最初の練習

斜角三角形ABCの​​面積と高さを計算します。その辺は次のとおりです。

a = 8 cm。

b = 12 cm。

c = 16 cm。

解決

データとして、三角三角の3辺の測定値が示されています。

高さの値は利用できないため、面積はHeronの公式を適用することによって決定できます。

最初に半周長が計算されます：

sp =（a + b + c）÷2

sp =（8 cm + 12 cm + 16 cm）÷2

sp = 36 cm÷2

sp = 18 cm。

これで、ヘロンの式で値が置き換えられました：

面積が分かれば、辺bに対する高さを計算できます。一般式から、それをクリアすると、次のようになります。

面積=（辺_* h）÷2

46、47 cm ² =（12 cm _* h）÷2

h =（2 _* 46.47 cm ²）÷12 cm

h = 92.94 cm ² ÷12 cm

h = 7.75 cm。

2番目の練習

三角測量ABCが与えられ、そのメジャーは次のとおりです。

• セグメントAB = 25 m。
• セグメントBC = 15 m。

頂点Bでは、50度の角度が形成されます。三角形の辺c、周囲、および面積に対する高さを計算します。

解決

この場合、2つの側面の測定値があります。高さを決定するには、3番目の側面の測定値を計算する必要があります。

与えられた辺と反対の角度が与えられているので、余弦の法則を適用して辺AC（b）の測定値を決定することが可能です。

B ² = ² + C ² - 2A _* C _* B COS

どこ：

a = BC = 15 m。

c = AB = 25 m。

b = AC。

B = 50 ^o。

データが置き換えられます：

B ² =（15）² +（25）² - 2 _*（15）_*（25）_* 50 COS

b ² =（225）+（625）-（750）_* 0.6427

b ² =（225）+（625）-（482,025）

b ² = 367,985

b =√367,985

b = 19.18 m。

すでに3つの辺の値があるので、その三角形の周長が計算されます。

P =サイドa +サイドb +サイドc

P = 15 m + 25 m + 19、18 m

P = 59.18 m

これで、ヘロンの公式を適用して面積を決定することができますが、最初に半周を計算する必要があります。

sp = P÷2

sp = 59.18 m÷2

sp = 29.59 m。

側面と半周の測定値は、ヘロンの式に代入されます。

最後に面積がわかれば、辺cに対する高さを計算できます。一般的な公式から、それをクリアするには、次のことを行う必要があります。

面積=（辺_* h）÷2

143.63 m ² =（25 m _* h）÷2

h =（2 _* 143.63 m ²）÷25 m

h = 287.3 m ² ÷25 m

h = 11.5 m。

3番目の練習

不等辺三角形ABCの辺bのサイドC 22センチ40センチ、及び頂点Aは、角度90が形成されています^か、。その三角形の面積を計算します。

解決

この場合、斜角三角形ABCの​​2つの辺の測定値と、頂点Aで形成される角度が表示されます。

面積を決定するために、a辺の測定値を計算する必要はありません。三角比によって、角度を使用してそれを見つけるためです。

高さの反対側の角度はわかっているので、片側と角度のサインの積で決まります。

面積式を代入すると、次のようになります。

• 面積=（辺_* h）÷2
• h = c _* sin A

面積=（b _* c _* sin A）÷2

面積=（40 cm _* 22 cm _*罪90）÷2

面積=（40 cm _* 22 cm _* 1）÷2

面積= 880 cm ² ÷2

面積= 440 cm ²。

参考文献

1. アルバロレンドン、AR（2004）。テクニカルドローイング：アクティビティノートブック。
2. アンヘル・ルイス、HB（2006）。ジオメトリ。CRテクノロジー。
3. エンジェル、AR（2007）。初代代数。ピアソン教育、。
4. Baldor、A.（1941）。代数。ハバナ：文化。
5. バルボサ、JL（2006）。平面ユークリッド幾何学。リオデジャネイロ、。
6. Coxeter、H.（1971）。ジオメトリの基礎。メキシコ：Limusa-Wiley。
7. ダニエルC.アレクサンダー、GM（2014）。大学生のための初等幾何学。Cengage Learning。
8. Harpe、P. d。（2000）。幾何群論のトピック。シカゴ大学出版局。