確率の公理は確率論に言及する数学的命題であり、証明に値しない。公理は、1933年にロシアの数学者Andrei Kolmogorov（1903-1987）によって確立された確率理論の基礎であり、確率の数学的研究の基礎を築きました。
特定のランダムな実験Whenを実行する場合、サンプル空間Eは、イベントとも呼ばれる実験のすべての可能な結果のセットです。すべてのイベントはAとして示され、P（A）はその発生確率です。それからコルモゴロフはそれを確立しました：
図1.確率の公理により、ルーレットなどの偶然のゲームをヒットする確率を計算できます。出典：Pixabay。
- 公理1（非負）：イベントAが発生する確率は常に正またはゼロ、P（A）≥0です。イベントの確率が0の場合、それは不可能なイベントと呼ばれます。
- 公理2（確実性）：Eに属するイベントの発生確率は常に1であり、P（E）= 1として表すことができます。実験をすると確かに結果があるので、これは特定のイベントとして知られています。
- 公理3（添加） 2つの以上の互換性のないイベントAと呼ばれる2つ、による2つの場合には1、A 2、A 3 …、イベントA確率1プラスA 2プラスA 3があろう発生など続いて、それは、それぞれが別々に発生する確率の合計です。
これは、P（A 1 AU 2 AU 3 U…）= P（A 1）+ P（A 2）+ P（A 3）+… として表されます。
図2.公理的確率の基礎を築いた著名なロシアの数学者、Andrei Kolmogorov（1903-1987）。出典：ウィキメディア・コモンズ。
例
確率の公理は、多くのアプリケーションで広く使用されています。例えば：
画鋲または鋲が空中に投げ込まれ、床に落ちたときに、上向き（U）または下向き（D）で着陸するオプションがあります（他の可能性は考慮しません）。この実験のサンプル空間はこれらのイベントで構成され、E = {U、D}になります。
図3.タックを投げる実験では、異なる確率の2つのイベントがあります。ポイントを上にして着地するか、地面に向かって着地します。出典：Pixabay。
私たちが持っている公理を適用することにより：
着陸する可能性が等しい場合、P（U）= P（D）=½（公理1）。ただし、画鋲の構造とデザインにより、何らかの方法で落下する可能性が高くなります。たとえば、P（D）=¾（公理1）である一方で、P（U）=¾である場合があります。
どちらの場合も、確率の合計が1になることに注意してください。ただし、公理は、確率を少なくとも完全に割り当てる方法を示していません。しかし、それらは0と1の間の数であり、この場合のように、すべての合計が1であると述べています。
確率を割り当てる方法
確率の公理は、確率の値を割り当てる方法ではありません。このため、公理と互換性のある3つのオプションがあります。
ラプラスの法則
各イベントには同じ発生確率が割り当てられ、発生確率は次のように定義されます。
たとえば、フランスのカードのデッキからエースを引く確率はどれくらいですか？デッキには52枚のカードがあり、各スーツは13枚あり、4枚のスーツがあります。各スーツには1つのエースがあるため、合計4つのエースがあります。
P（as）= 4/52 = 1/13
ラプラスの法則は有限のサンプル空間に限定されており、各イベントの確率は等しくなります。
相対頻度
この方法は多数の繰り返しを実行することに基づいているため、ここで実験は繰り返し可能でなければなりません。
実験iをi回繰り返してみましょう。ここで、nは特定のイベントAが発生する回数であり、このイベントが発生する確率は次のとおりです。
P（A）= lim i→∞（n / i）
ここで、n / iはイベントの相対頻度です。
このようにP（A）を定義すると、コルモゴロフの公理は満たされますが、確率が適切になるには多くの検定を実行する必要があるという欠点があります。
主観的な方法
人または人のグループは、自分の判断によって、イベントに確率を割り当てることに同意できます。この方法には、異なる人が同じイベントに異なる確率を割り当てることができるという欠点があります。
運動が解決されました
3つの正直なコインを同時に投げる実験で、説明されているイベントの確率を取得します。
a）2つの頭と尾。
b）1つの頭と2つの尾
c）3つの交配。
d）少なくとも1つの顔。
への解決策
頭はCで、尾はXで表されます。ただし、2つの頭と尾を取得する方法はいくつかあります。たとえば、最初の2枚のコインは表を着地させ、3枚目は尾を着地させることができます。または、1つ目は頭、2つ目は尾、3つ目は頭に落ちることがあります。そして最後に、最初は尾と残りの頭になります。
質問に答えるには、ツリーダイアグラムまたは確率ツリーと呼ばれるツールで説明されるすべての可能性を知る必要があります。
図4. 3つの正直なコインの同時トスのツリー図。出典：F. Zapata
どのコインも表になる確率は½です。コインは正直なので、テールについても同じです。右の列には、トスが持つすべての可能性、つまりサンプル空間がリストされています。
顔の出現順序は重要ではないため、サンプルスペースから、要求されたイベントに応答する組み合わせが選択されます。CCX、CXC、XCCの3つの好ましいイベントがあります。各イベントが発生する確率は次のとおりです。
P（CCX）=½。½。½= 1/8
CXCとXCCのイベントでも同じことが起こり、それぞれ1/8の確率で発生します。したがって、正確に2頭になる確率は、すべての有利なイベントの確率の合計です。
P（両面）= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375
ソリューションb
正確に2つのクロスが発生する確率を見つけることは、前のものと同様の問題であり、サンプルスペースから取得された3つの好ましいイベント、CXX、XCX、およびXXCもあります。したがって：
P（2つの十字）= 3/8 = 0.375
ソリューションc
直感的には、3つのテール（または3つのヘッド）を取得する確率が低いことがわかります。この場合、求められるイベントは、右側の列の最後にあるXXXであり、その確率は次のとおりです。
P（XXX）=½。½。½= 1/8 = 0.125。
ソリューションd
少なくとも1つの面を取得する必要があります。つまり、3つの面、2つの面、または1つの面が出てきます。これと互換性のない唯一のイベントは、確率が0.125である3つのテールが出てくるイベントです。したがって、求められる確率は次のとおりです。
P（少なくとも1つの頭）= 1-0.125 = 0.875。
参考文献
- Canavos、G。1988。確率と統計：アプリケーションと方法。マグローヒル。
- Devore、J。2012。工学と科学の確率と統計。8日。版。Cengage。
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