ユークリッド距離は、ユークリッドの幾何学の公理と定理が満たされている空間の2点間の分離を示す正の数です。
ユークリッド空間の2つの点AとBの間の距離は、これらの点を通る唯一の線に属するベクトルABの長さです。
図1 。ライン（OX）によって形成される1次元ユークリッド空間。いくつかのポイントは、その空間、それらの座標と距離に示されています。（RicardoPérezにより作成）。
人間が知覚し、私たちが移動する空間は3次元（3-D）空間であり、ユークリッド幾何学の公理と定理が満たされます。このスペースには、2次元の部分空間（平面）と1次元の部分空間（線）が含まれています。
ユークリッド空間は、1次元（1-D）、2次元（2-D）、3次元（3-D）、またはn次元（nD）にすることができます。
1次元空間X内の点は、有向線（OX）に属する点であり、OからXへの方向は正の方向です。この線上の点を見つけるために、線の各点に番号を割り当てることからなるデカルトシステムが使用されます。
式
直線上にある点AとBの間のユークリッド距離d（A、B）は、X座標の差の平方根として定義されます。
d（A、B）=√（（XB-XA）^ 2）
この定義により、次のことが保証されます。2つの点間の距離は常に正の量になります。そして、AとBの間の距離はBとAの間の距離に等しいということです。
図1は、線（OX）とその線上のいくつかの点によって形成される1次元ユークリッド空間を示しています。各ポイントには座標があります：
ポイントAの座標はXA = 2.5、ポイントBの座標はXB = 4、ポイントCの座標はXC = -2.5です。
d（A、B）=√（（4-2.5）2）= 1.5
d（B、A）=√（（2.5-4）2）= 1.5
d（A、C）=√（（-2.5-2.5）2）= 5.0
2次元のユークリッド距離
2次元ユークリッド空間は平面です。ユークリッド平面の点は、ユークリッド幾何学の公理を満たします。次に例を示します。
-1本の線が2点を通過します。
-平面上の3つの点は三角形を形成し、その内角は常に180度になります。
-直角三角形では、斜辺の二乗はその脚の二乗の合計に等しくなります。
2次元では、ポイントにはX座標とY座標があります。
たとえば、ポイントPには座標（XP、YP）とポイントQ座標（XQ、YQ）があります。
点PとQの間のユークリッド距離は、次の式で定義されます。
d（P、Q）=√（（XQ-XP）^ 2 +（YQ-YP）^ 2）
図2に示すように、この式はピタゴラスの定理に相当することに注意してください。
図2.平面内の2つの点PとQの間の距離は、ピタゴラスの定理を満たしています。（RicardoPérezにより作成）。
非ユークリッドサーフェス
すべての2次元空間がユークリッドジオメトリに準拠しているわけではありません。球の表面は二次元空間です。
球面上の三角形の角度の合計は180度にならず、これによりピタゴラスの定理が満たされないため、球面はユークリッドの公理を満たしません。
n次元のユークリッド距離
座標の概念は、より大きな次元に拡張できます。
-2次元では、Pには座標があります（XP、YP）
-3Dでは、点Qは座標（XQ、YQ、ZQ）を持ちます
-4Dでは、ポイントRは座標（XR、YR、ZR、WR）を持ちます
-nDでは、ポイントPは座標（P1、P2、P3、…..、Pn）を持ちます。
n次元ユークリッド空間の2つの点PとQの間の距離は、次の式で計算されます。
d（P、Q）=√（（Q1-P1）^ 2 +（Q2-P2）^ 2 +…….. +（Qn-Pn）^ 2）
別の固定点P（中心）から等距離にあるn次元ユークリッド空間のすべての点Qの軌跡は、n次元超球を形成します。
ユークリッド距離の計算方法
以下は、ユークリッド3次元空間にある2点間の距離を計算する方法を示しています。
A :( 2、3、1）によって与えられるデカルト座標x、y、zの点Aと座標B :( -3、2、2）の点Bを想定します。
これらのポイント間の距離を決定します。これらのポイントには、一般的な関係が使用されます。
d（A、B）=√（（-3-2）2 +（2-3）2 +（2-1）2）=√（（-5）2 +（-1）2 +（1）2 ）
d（A、B）=√（25 + 1 + 1）=√（27）=√（9 * 3）= 3√（3）= 5,196
例
PとQの2つの点があります。P:( 2、3、1）によって与えられるデカルト座標x、y、zの点Pと座標Q :( -3、2、1）の点Q。
2点を結ぶ線分の中点Mの座標を求める。
未知の点Mは座標（X、Y、Z）を持つと仮定されます。
Mは中点なので、d（P、M）= d（Q、M）であることは真でなければなりません。したがって、d（P、M）^ 2 = d（Q、M）^ 2も真でなければなりません。
（X-2）^ 2 +（Y-3）^ 2 +（Z-1）^ 2 =（X-（-3））^ 2 +（Y-2）^ 2 +（Z-1）^ 2
この場合のように、3番目の項は両方のメンバーで等しいため、前の式は次のように単純化されます。
（X-2）^ 2 +（Y-3）^ 2 =（X + 3）^ 2 +（Y-2）^ 2
次に、2つの未知数XおよびYを含む方程式があります。問題を解決するには、別の方程式が必要です。
点Mは、点PとQを通る線に属しています。これは、次のように計算できます。
まず、ラインのディレクタベクトルPQを見つけます：PQ = <-3-2、2-3、1-1> = <-5、-1、0>。
次に、PM = OP + a PQです。ここで、OPは点Pの位置ベクトルであり、実数に属するパラメーターです。
上記の方程式は、直交座標で次の形式をとる線のベクトル方程式として知られています。
<X-2、Y-3、Z-1> = <2、3、1> + a <-5、-1、0> = <2-5a、3-a、0>
私たちが持っている対応するコンポーネントを等化する：
X-2 = 2-5 a; Y-3 = 3 -a; Z-1 = 0
つまり、X = 4-5a、Y = 6-a、最後にZ = 1です。
XをYに関連付ける2次式に代入されます。
（4-5a-2）^ 2 +（6-a-3）^ 2 =（4-5a + 3）^ 2 +（6-a-2）^ 2
簡略化されています：
（2-5a）^ 2 +（3 -a）^ 2 =（7-5a）^ 2 +（4-a）^ 2
展開します：
4 + 25 a ^ 2-20a + 9 + a ^ 2-6a = 49 + 25 a ^ 2-70a + 16 + a ^ 2-8a
それは単純化され、両方のメンバーの同様の条件をキャンセルします：
4-20a + 9-6a = 49-70a + 16-8a
パラメータaがクリアされます。
52 a = 49 + 16-4-9 = 52その結果、a = 1。
つまり、X = 4-5、Y = 6-1、最後にZ = 1。
最後に、セグメントの中点Mのデカルト座標を取得します。
M：（-1、5、1）。
参考文献
- Lehmann C.（1972）分析ジオメトリ。UTEHA。
- スーパープロフ。2点間の距離。回収元：superprof.es
- UNAM。アフィン準線形多様体間の距離。から回復：prometeo.matem.unam.mx/
- ウィキペディア。ユークリッド距離。から回復：es.wikipedia.com
- ウィキペディア。ユークリッド空間。から回復：es.wikipedia.com